线性跟踪微分器及其在状态反馈控制中的应用

文献[1]基于韩京清非线性跟踪微分器思想[2],给出了一种线性跟踪微分器的设计方法.本文对其进行了改进,提出了α阶线性跟踪微分器与γ阶线性强跟踪微分器的概念.α阶线性跟踪微分器可以实现对微分信号的α阶静态无差跟踪,有效地提高微分信号的质量,同时采用α阶跟踪微分器的串联还可以获得待微分信号的各阶微分的渐近估计.γ阶强跟踪微分器则可以直接获得待微分信号的1～γ阶微分估值,并具有相对高的静态无差度.

本文还对利用线性跟踪微分器方法实现控制系统的状态反馈设计问题进行了仿真研究.通过对线性系统及非线性时变系统的仿真表明:只要合理地选择跟踪微分器,这一方法是十分简单和有效的,为控制系统的状态反馈设计提供了极大的便利.

1　α阶线性跟踪微分器与γ阶线性强跟踪微分器简介

α阶线性跟踪微分器与γ阶线性强跟踪微分器分别如图1a,1b所示.

显然若G′α(s)和G′γ(s)稳定,且具有α阶的静态无差度.则当t→∞时,y(t)将以α阶的静态无差度跟踪u。(t)和u(γ)(t).关于两种微分器的详细理论分析见文献[3].将若干个α阶线性跟踪微分器串联起来,可得到待微分信号的各阶微分,如图2所示.

2　线性跟踪微分器及其在状态反馈设计中的应用

运用跟踪微分器获取系统微分信号的方法,可以实现对系统状态的渐近估计,从而直接用于控制系统的状态反馈设计.下面通过仿真进行研究.

①在线性定常系统状态反馈设计中的应用设被控对象的状态空间表达式为

此系统不稳定.通常的方法是通过状态观测器获取系统状态的估值来进行状态反馈校正.本例中系统的状态为系统输出及其一、二阶导数,用跟踪微分器来直接获取系统的状态并用于反馈.用极点配置方法可以很容易求出获得希望极点的状态反馈矩阵k=[-10　-10　-4],可使系统稳定,且特征值为λ1,2=-1±j,λ3=-5.用状态直接反馈和用一阶跟踪微分器获取系统状态并用于反馈的仿真结果如图3、图4所示.

比较图3、图4可以看出,两者的控制效果基本相同.本例由于跟踪微分器的滤波作用,其控制效果好于状态直接反馈的情况.

②在非线性系统状态反馈设计中的应用考虑非线性时变系统

用一阶线性跟踪微分器获取状态,并按逆系统方法实现ITAE最优阶跃输入响应.按逆系统方法理论,将式(5)化为二阶伪线性系统的反馈控制律为

而实现ITAE最优控制的反馈解为

设x可测量,x。通过跟踪微分器得到,x。^=sx/(0.1s+1).其单位阶跃响应如图5所示,其中e为二阶I-TAE最佳系统输出与系统实际输出之差,其误差最大值为1%.可见采用跟踪微分器方法进行控制系统的反馈设计是合理和有效的.