3.5 控制系统的稳态误差 3.5 控制系统的稳态误差 描述控制系统的微分方程 (3.73) 式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为 (3.74) 式中，前两项是方程的通解，而 是方程的一个特解。随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解 。当 时，方程的通解趋于零 这时系统进入了稳定状态。特解 是由输入量确定的，反映了控制的目标和要求。系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。稳态特性的性能指标就是稳态误差。 3.5.1 稳态误差控制系统的误差可以表示为 (3.75) 式中 是被控制变量的期望值

3.4 高阶系统的瞬态响应 用二阶以上微分方程描述的系统，统称为高阶系统。描述高阶系统的微分方程为： (3.67) 系统的传递函数为 (3.68) 在单位阶跃输入下，系统响应为 (3.69) 系统的特征方程为 假设特征方程有q个实数根，r对共轭复数根，则特征方程可写为（q+2r=n) (3.70) 将式（3.70）代入式（3.69）得： (3.71) 式（3.71）的拉普拉斯反变换具有下面的形式 (3.72) 式（3.72）表明，高阶系统是由若干惯性环节和振荡环节组成的。凡是实数闭环极点，对应着输出响应中的指数函数项，凡是共轭复数闭环极点，对应的则是输出中的振荡项。在高阶系统中，凡距虚轴近的闭环极点，指数函数（包括振荡函数的振幅）衰

3.3 二阶系统的瞬态响应 凡用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。标准形式的二阶系统的微分方程是 (3.27) 或 (3.28) 上两式中，T称为系统的时间常数。 称为系统的阻尼系数或阻尼比， 称为系统的无阻尼自然振荡频率或自然频率。K为放大系数。图3.9是标准二阶系统的结构图。 图3.9 二阶系统的结构图 标准形式二阶系统的闭环传递函数为 (3.29) 二阶系统的状态空间表达式为 (3.30) (3.31) 在式（3.30）和式（3.31）中，设K=1u(t)为输入函数。二阶系统是控制系统中应用最广泛、最具代表性的系统。同时，二阶系统的分析方法也是分析高阶系统的基础。 3.3.1 二阶系统的单位跃阶响应二阶系统的特征方程为 (3.32

3.2 一阶系统的瞬态响应 可用一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。典型的一阶系统微分方程式为 (3.7) 系统的传递函数为 (3.8) 式中T为系统的时间常数，K为系统的放大系数，y(t)为系统的输出变量，x(t)为系统的输入变量。 3.2.1 一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应为 (3.9) 将式（3.9）展开为部分分式 (3.10) 对式（3.10）两边进行拉普拉斯变换，得到 (3.11) 式（3.10）即一阶系统的单位阶跃响应。图3.4给出了响应y(t)的变化曲线：这是一条指数曲线。在t=0时，曲线的斜率最大。 (3.12) 曲线斜率随时间增加不断下降。当t 时，斜率为零，动态过程结束。这时的响应记为 =K，即单位阶跃信号经过了一阶

3.1 控制系统的分析 在控制技术的应用与研究中，会遇到两类问题。一类是已知一个确定的控制系统，需要对它的工作特性进行了解，解决这类问题的过程称为控制系统分析。另一类问题是根据应用需要，先确定控制系统的性能指标，要求设计出一个能达到性能要求的控制系统，解决这类问题的过程称为控制系统的设计或综合。分析与综合是进行方向相反的两个过程，但又是相辅相成、不可分割的。实际上，在控制系统的设计中，要设计一个合格的系统，常常要经历设计---分析---再设计的过程，直至达到满意的结果。分析是控制系统的研究基础。掌握控制系统分析的基本方法是十分必要的。 控制系统的

2.6 传递矩阵 2.6 传递矩阵 2.6.1 由状态空间表达式求传递函数对于单输入单输出系统，其状态空间表达式为 (2.88) 式中，x是n维列向量，A是n*n维方阵，B是n*1维矩阵，C是1*n维矩阵，一般情况下D=0由于是单输入单输出系统，y和u都是标量。对式（2.88）求拉普拉斯变换，并设初始条件为零，得到 (2.89) (2.90) 从式（2.89）可得到 (2.91) 式中I为单位矩阵（或称么阵），单位矩阵是主对角线上的元素为1，其余元素全为零的矩阵。 是 的逆矩阵。将（2.91）式代入（2.90）式得到 (2.92) 传递函数为 (2.93) 2.6.2 传递函数对于有r个输入变量，m个输出变量的多输入多输出线性定常系统，其状态空间表达式为 (2.94) (2.95) 式中 维列

2.5 控制系统的状态空间表达式 2.5 控制系统的状态空间表达式 随着科学技术的发展，被控制的对象越来越复杂，对自动控制的要求也越来越高。面对时变系统，多输入多输出系统、非线性系统等被控量和对控制系统高精度、高性能的严格要求，传统的控制理论已不能适用。同时，计算机技术的发展也要求控制系统地分析，设计中采用计算机技术并在控制系统的组成中使用计算机。因此，适用这些要求的控制系统的另一种数学描述方法----状态空间就应运而生。 2.5.1 状态变量在对系统动态特性描述中，足以表征系统全部运动状态的最少一组变量，称之为状态变量。只要确定了这组变量在t= 时刻的值以及

2.4 控制系统的结构图 2.4 控制系统的结构图 在控制系统的分析研究中，结构图（也称为方块图或方框图）得到了广泛的应用。控制系统的结构图能直观地反映信号从输入到输出的传递过程，清楚地表明系统各环节间的连接关系和系统的工作原理，便于求取控制系统的传递函数，是控制系统分析、设计的有力工具。2.4.1 结构图的基本要素组成控制系统结构图的基本要素有：函数方块、比较环节（相加点或结合点）、分支点（或引出点）。图2.17是一个函数方块，方框中写入该环节的传递函数，表示这个方块代表的环节的动态特性。 是该环节的输入变量， 是该环节的输出变量。它清楚地表明了该环节信号