4.4 开环频率特性 4.4 开环频率特性 根据开环传递函数求出的频率特性称为开环频率特性。开环频率特性和开环传递函数一样，在控制系统地分析中具有十分重要的作用。 设系统的开环传递函数为 (4.34) 开环频率特性为 (4.35) 幅频特性为 (4.36) 相频特性为 (4.37) 4.4.1 开环频率特性的极坐标图 绘制开环频率特性的极坐标图，必须直接计算出某一频率下的幅值和相角，从而给出开环频率特性曲线。用计算机通过专用的程序绘制开环频率特性曲线的极坐标图十分方便。 例2 系统的开环传递函数如下： 绘制开环频率特性的极坐标图 解 不同频率下的幅值和相角如下: 0 0.5 1 2 4 6 8 10 10 8.9 7.03 4.4 2.26 1.4 0.97 0.71 0 根据上

4.3 反馈控制的基本原理 4.3 典型环节的频率特性 控制系统是由典型环节按一定规律组合而成的。一个控制系统的频率特性，也是由典型环节的频率特性组合而成的。所以，我们首先需要详细地了解典型环节的频率特性。 4.3.1 比例环节比例环节的传递函数为 (4.11) 式中K为放大系数。 比例环节的频率特性为 (4.12) 比例环节的频率特性是一个不随频率变化的实常数。在极坐标图上，比例环节是实轴上的一点。该点的具体位置由K的大小确定。比例环节的极坐标图如图4.2所示。 图 4.2 比例环节的极坐标图 在对数坐标图上，由于 所以，对数幅频特性是一条平行于 轴的直线，对数相频特性是过 线的一条直线。如

4.2 频率特性的图示方法 4.2 频率特性的图示方法 应用频率法分析设计控制系统，必须获得控制系统的频率特性曲线。工程上最常用的频率特性表示方法有三种：极坐标图、对数频率特性图和对数幅相特性图。 4.2.1 极坐标图极坐标图是根据复数的矢量表示方法来表示频率特性的。频率特性函数 可表示为 只要知道了某一频率下的 的模和幅角，就可以在极坐标系上确定一个矢量。矢量的末端点随 变动就可以得到一条矢端曲线，这就是频率特性曲线。 工程上的极坐标图常和直角坐标系共同画在一个平面上。横坐标是频率特性的实部，纵坐标是频率特性的虚部，形成了一个直角坐标复平面。实频特性 和虚部

4.1 频域特性 在通讯系统中，经常会遇到各种不同频率的正弦信号。通信系统就是对这些不同频率正弦信号进行处理和传递。这种方法对控制工程产生了巨大的影响。 控制系统的运动过程也可以看作是不同频率正弦信号在控制系统各环节中以一定的函数关系传递的过程。控制系统的输入信号可以分为周期信号和非周期信号两类。周期性的输入信号，可以分解为一系列正弦谐波信号之和。它所包含的频率成分是基波和各次谐波，其频谱是离散的。而非周期性的输入信号，如阶跃函数，则可以看作是幅值无穷小而且含有一切连续频率成分的无穷多个谐波之和，即非周期函数的频谱是连续的。不论周期的或非

3.9 根轨迹法简介 3.9 根轨迹法简介 根轨迹法是控制系统的一种实用分析方法。 3.9.1 根轨迹的概念控制系统的稳定性、动态特性都与特征方程的根（即闭环极点）在s平面上的分布有密切关系。时域分析中，依靠求解输入输出微分方程或状态方程，只能确定控制系统闭环极点的具体分布。若要研究参数变化对控制系统性能的影响，特别是某些参数连续变化对系统性能的影响，依靠求解特征方程的方法来确定闭环极点的位置随参数变化的情况，计算量很大，有时甚至是不可能的。现在，我们则可以通过一种简便的图解方法，很方便地给出特征方程的根随参数变化在s平面上分布位置变化的情况。我们先看下

3.8 控制系统的稳定性 3.8 控制系统的稳定性 稳定性是控制系统最重要的特性之一。它表示了控制系统承受各种扰动，保持其预定工作状态的能力。不稳定的系统是无用的系统，只有稳定的系统才有可能获得实际应用。我们前几节讨论的控制系统动态特性，稳态特性分析计算方法，都是以系统稳定为前提的。 3.8.1 稳定性的定义 图3.26（a）是一个单摆的例子。在静止状态下，小球处于A位置。若用外力使小球偏离A而到达A，就产生了位置偏差。考察外力去除后小球的运动，我们会发现，小球从初始偏差位置A，经过若干次摆动后，最终回到A点，恢复到静止状态。图3.26（b）是处于山顶的一个足球。足球在静止

3.7 控制系统的数值分析 在控制系统的时域分析中，求取高阶系统的响应时间是一件十分困难的工作。而利用计算机，则可以方便地求出系统在一系列时刻上瞬态响应的数值解，并且可以满足精度上的要求。这就是控制系统的数值分析法。不论高阶微分方程或是状态空间表达式，都有微分方程的求解问题。对n阶微分方程求解，必须进行n次积分运算。所以，数值积分法就成为控制系统数值分析的最基本算法。设一阶微分方程为 初始条件为 把方程改写为 (3.125) 如果我们把积分区间划分为若干子区间： 对方程（3.125）两边从 到 积分 可以得到 在 时刻的值 (3.126) 求出 后，则可以根据 再求出 的值 按同

3.6 状态方程的解 3.6 状态方程的解 以上讨论的控制系统的分析方法，都是基于控制系统的数学模型是传递函数或输入输出微分方程。在时域分析中，若控制系统的数学模型是状态空间表达式，我们就必须考虑状态方程的求解问题。 3.6.1 线性定常系统状态方程的解线性定常系统的状态方程为 (3.107) 状态方程的求解，就是在给定的初始值x(0)条件下，确定系统在输入u(t）的作用下在t时刻的状态响应x(t)。线性定常系统的状态方程是一个一阶微分方程组。它的每一个方程都是一个线性定常微分方程。所以，我们先来讨论一下一阶微分方程的解法。设一阶线性微分方程为 (3.108) 式中ab为常数，方程的初始条件为