兰姆波频率方程的数值解法

　　兰姆波(Lamb)是20世纪初期英国力学家兰姆按平板自由边界条件解波动方程时得到了一种特殊的波动解而发现的。它是一种在厚度与激励声波波长为相同数量级的声波导中由纵波和横波合成的特殊形式的应力波^[1]。由于自身独特的优点,兰姆波特别适合于薄壁板形结构的无损检测。但是兰姆波的频散特性使得其在激励、传播、接收以及信号处理方面比较复杂。在应用兰姆波检测时首先是要根据不同材料、不同结构形式的构件,选择合适的兰姆波模式,这就需要求解Lamb频率方程。尽管文献中能够查到某些给定参数下的频率方程的频散曲线,但有时还是难以满足实际检测的要求,所以求解兰姆波频率方程在工程中有着非常重要的意义^[2]。

　　1　Lamb频率方程

　　根据声波质点振动特点,兰姆波分为对称模式和反对称模式,每种模式有不同的阶次,通常用S0,S1,S2…,A0,A1,A2…表示。在自由边界条件下,Lamb频率方程为^[3]

　　对称模式

　　Cp———兰姆波相速度

　　Cs———横波波速

　　Cl———纵波波速

　　f———兰姆波频率

　　d———板厚

　　式(1)和(2)中的Cp不是常数,随f和d的变化而变化。该特性反映在相速度-频厚(频率与厚度的乘积)平面内就表现为一系列曲线,即频散曲线。

　　2　Lamb频率方程数值解法

　　以下为对称模式的Lamb频率方程解法。

　　2.1　方程分析

　　令x=fd,从式(1)可见,若以x为自变量,则对Cp的求解从形式上看将会十分复杂;而以Cp为自变量,则对x的求解将相对简单一些,因此选定Cp为自变量。考虑到工程实际应用,设Cp和x均为大于零的实数。

　 当Cp给定为某一值(特殊值除外)时,式(1)可改写为

　　AtanBx+CtanDx =0(3)

　　其中系数A,B,C和D的值是随Cp的变化而变化的。对于一般的材料有Cs如表1所示。

　　2.2　方程数值解法

　　(1)特殊点的求解　当Cp=Cl时,q=0,此时式(1)变为简单的三角方程,即

　　易解得式(4)的解为

　　同理,当可解得方程的解为上述两种情况k=1,2,3,…时,分别对应1,2,3,…阶模式的解。

　当Cp=Cs时,p=0,此时式(1)变成恒等式,没有意义。

　　(2)当0

    F(x) = athbx-cthdx =0(5)

　　分析可知,若式(5)有实数解,必须满足条件c>a,且ab>cd。当上述条件满足时,式(5)在区间内有且仅有一解,并且在区间的两端点处,函数F(x)异号,此时可以用二分法很容易求出方程的解^[4],由此得到的解对应0阶模式。