端点处保持C^r,s连续的Bezier曲线一次降多阶算法

　　由于不同CAD/CAM系统所支持的Bézier曲线最大阶数是不同的，这些系统在交换数据之前必须先将Bézier曲线的阶对齐(升阶或者降阶)。与升阶不同，Bézier曲线降阶后的曲线与原曲线存在误差，Bézier曲线降阶实际上就是寻找一个比原Bézier曲线阶低且充分函数逼近的新曲线。因此，众多学者将研究重点放在Bézier曲线降阶方面[1-6]。由于CAD/CAM系统之间交换数据的数据量往往比较大，从提高交换效率的角度出发，要求降阶算法应当能够一次降多阶(Multi-DegreeReduction )且可以用降阶转换矩阵 (ReductionTransformation Matrix) 形式表示[7-9]。R T Farouki在2000年首先给出了Legendre与Bernstein基函数之间相互转换的计算公式[10]。Byung-Gook Lee等人在Farouki工作的基础上提出了一种基于Legendre直交多项式的Bézier曲线降阶算法[11]，该算法具有一次能够降多阶(避免了递归调用)且降阶后的控制顶点矢量可以表示为降阶转换矩阵与控制顶点矢量相乘(降阶转换矩阵只需计算一次并可以重复使用)的新特点。然而，降阶后的曲线与原曲线在端点处不能保持参数连续性，这在一些实际应用场合是不能接受的。类似的，Abedallah Rababah 等 人 提 出 了 一 种 基 于Chebyshev直交多项式Bézier曲线降阶算法，该算法同样能够一次完成降多阶且可以用矩阵形式表示，但是仅能在端点处与原曲线保持非常低阶的0,0C 连续性[12]。Guo-Dong Chen等人提出一种一次降多阶的Bézier曲线降阶算法，用该算法完成的降阶曲线在端点处可以非常灵活的Crs,非对称参数连续性(r表示在起点具有C r连续性，s表示在起点具有Cs 连续性)，但计算过程复杂且不能用矩阵形式表示[13]。

　　本文将 Byung-Gook Lee、Guo-Dong Chen 等人的工作进行了有机的结合，进一步提出了一种新的基于 Legendre 直交多项式能够在端点处保持Crs,非对称参数连续性一次降多阶的 Bézier曲线降阶算法。新的降阶算法中每个计算步骤均用矩阵形式表示，Bézier 曲线降阶的过程可以用这些矩阵相乘的结果(降阶转换矩阵)来表示，这样阶后的曲线控制顶点矢量可以表示为降阶转换矩阵与原曲线控制顶点矢量乘积的形式。降阶转换矩阵可以在不同 CAD/CAM 系统交换数据前根据降阶参数事先计算好并固化，因此在需要大批量的交换数据的时候具有很好的应用价值。

　　1 基于 Legendre 直交多项式的Bézier 曲线降阶

　　1.1 Bézier 曲线降阶

　　给定一组控制顶点niip0{}=，n 次 Bézier 曲线可以被定义为[1]

　　1.2 基于 Legendre 多项式的降阶算法

　　Byung-Gook Lee 等 人 提 出 一 种 基 于Legendre 直交多项式的降阶算法，该算法首先将Bézier 曲线转换为用 Legendre 多项式表示，然后利用 Legendre 多项式的直交的特性完成一次降r 阶( r ≥ 1)，最后将降阶后的Legendre 多项式再转换为 Bézier 曲线[11]。Lee 算法最大的特点是它在整个降阶过程中的每个步骤都可以用矩阵形式表示，并且一次就可以完成降多阶。基于Legendre 多项式的降阶算法的降阶转换矩阵可以表示为[11]