计算Banach不动点的进化策略算法

　　1　引言

　　不动点定理[1-2]是现代解方程的最主要的工具之一,在代数方程、常微分方程、积分方程等领域中有着广泛的应用,对现代数学的发展有着重要的推动作用[3-4]。不动点定理实际上是算子方程的求解问题,是分析学的各个分支中的存在和唯一性定理的重要基础。它是关于具体问题解的存在性唯一性定理,其中经典的不动点定理有定理和不动点定理,前者只是证明了不动点的存在唯一性,并未给出不动点的计算方法,后者不但保证不动点的存在唯一性,还给出具体计算不动点的方法—迭代算法。但是,不动点的迭代算法存在着初始点敏感问题,它的收敛性和误差很大程度上依赖于初始点的选取,且计算过程是串行的,影响了它的计算效率。本文采用进化策略并行求解不动点,收敛速度快、精度高,避免了初始点敏感问题。

　　2　不动点理论

　　其中,x = (x1,x2,…,xn),可以看出(2)的最优解就是算子方程的解,即不动点,所以解不动点问题可以转化为函数优化问题。近年来具有全局收敛性的进化策略算法是优化设计领域中的又一研究热点,进化策略[6-7](EvolutionStrategies,简称ES)是模仿自然选择和遗传机制的一种智能优化算法,它是由德国柏林技术大学的I.Rechenbery和H.P. Schweful为研究风洞中的流体力学问题提出的。进化策略是一种自适应、随机全局搜索算法,来源于达尔文进化论。隐含并行性和群体全局搜索性是它的两个显著特征,而且具有较强的鲁棒性,对于一些复杂的非线性系统求解具有独特的优越性能。目前,这种算法已广泛应用于各种优化问题的处理,如神经网络的训练与设计、系统识别、机器人控制和机器学习等领域。

　　3.1　进化策略的实现过程可简述为:

　　4)根据进化策略,用下述操作产生新群体:

　　①重组:将两个父代个体交换目标变量和标准差,产生新个体。目标变量采用离散重组,标准差采用中值重组。

　　②突变:对重组后的个体添加随机量,采用式(2)中的平均突变算子产生新个体。

　　③计算新个体适应度:适应度的计算同(3)中的计算过程相同。

　　④选择:采用(μ,λ)选择策略,挑选优良的个体组成下一代群体。

　　5)反复执行(5),直到达到终止条件,选择最佳个体作为进化策略的结果。

　　5　仿真实例

　　下面以n元线性方程组的求解为例,加以说明Banach不动点定理在代数方程中的应用,采用进化策略算法求得Banach不动点,即线性方程组的解。