基于偏微分方程的断层间表面的重构

　　0　引　言

　　断层数据表面重构技术应用遍及医学、地质、生物、无损探伤等领域,其要求各断层间相互平行,每一断层与实体的交线就是该断层的轮廓线[1]。目前,断层间数据表面重构大多是基于三角片表面重构,但对于三角片表面重构,有时需要引入附加点来构造,如在独立分叉插值中需要引入中间马鞍点[2]。在20世纪80年代末提出的偏微分方程(PDE)曲面造型作为一种相对新型的曲面造型技术,其在过渡面设计与曲面拼接方面具有潜在的优势[3-5]。只需给定边界形状及少量参数,即可构造一张过渡曲面,具有对用户的数学专业背景要求较低等特点[6]。同时,利用PDE法重构断层间表面,避免了连接函数的构造,克服了三角片表面重构的缺点,且对于基于组合PDE曲面的断层间表面重构方法,能方便地实现轮廓线间表面的一阶或者一阶以上的参数连续。

　　本研究主要介绍基于偏微分方程的断层间表面的重构。

　　1　过渡网格曲面的构造

　　下面介绍PDE法构造C0/C1过渡面。

　　1. 1　两平行封闭曲线间的C0过渡面的构造

　　给定两平行封闭的曲线,构造的过渡面经过给定的曲线,在连接处达到C0连续。由于要求C0连续,本研究采用如下的2阶椭圆型偏微分方程[7]:

　　区域边界结点由边界条件式(2)决定,区域内结点满足式(5),由此可得到离散方程组,通过迭代法求解方程组可得网格曲面上的顶点X(ui, vj),参数a能灵活地控制整个过渡曲面的形状。给定边界条件如图1(a)所示,通过上述差分法求解PDE曲面,可得到如图1(b)所示的过渡网格曲面。

　　1. 2　两平行封闭曲线间的C1过渡面的构造

　　给定两平行封闭的曲线及其导矢,构造的过渡面经过给定的曲线,在连接处达到C1连续。由于要求C1连续,采用如下的4阶椭圆型偏微分方程:

　　边界点由式(6)得到,邻近边界内点满足式(9),其余内点满足式(8),由此可得到离散方程组,通过迭代法求解方程组可求得网格曲面上的顶点X(ui,vj)。

　　2　断层间表面的重构

　　本节主要介绍采用两种方法实现断层间表面的重构,以给定3条断层间的轮廓线为例来说明重构断层间表面的PDE法。

　　2. 1　基于一张PDE曲面的断层间表面的重构方法

　　给定断层间的轮廓线,其中除两端之外的断层间的轮廓线称为硬约束曲线。基于一张PDE曲面的断层间表面的重构方法是通过PDE法构造一张两端平行封闭边界曲线之间的过渡网格曲面,然后建立硬约束曲线上的点与过渡网格曲面上相应顶点的映射关系,通过映射关系,将硬约束曲线上的点替换过渡网格曲面上相应顶点,便可得到满足边界条件且经过这些硬约束曲线的一张PDE曲面。