基于内积模极值的小阻尼计算新方法

　　在结构模态参数识别中,阻尼比的识别精度远比固有频率和振型的识别精度低,特别是小阻尼系统的阻尼估计,受到测量方法、试验参数和估计方法的影响很大。

　　阻尼的精确计算一直是国内外学者关注的问题[1~9],对阻尼的计算方法主要有以下几种:经典的半功率带宽法及改进方法[1~3]、时域峰值法[4]、传统的对数衰减率法[5, 6]、实验模态分析法[7]。时域峰值法通过计算时域波形的振幅衰减率来求出阻尼比,一般只适用于单频衰减波形。实验模态分析法计算阻尼的机理复杂,对实验条件要求较高,阻尼矩阵的求解很困难。传统的对数衰减率法中峰值采样值易受噪声干扰,识别效果有时很差。

　　半功率带宽法很难得到幅值恰好为半功率点的谱线,计算误差较大。利用快速傅立叶变换(FFT)计算得到的频响函数只是一系列固定频率间隔上的离散谱线,当所求频率位于谱线之间时,只能由邻近的谱线来近似,因此半功率点无法精确定位,这就产生了误差[2,8]。根据半功率带宽法计算阻尼比的公式,阻尼计算精确度取决于3个频率点的选取,即取决于FFT频率分辨率,对感兴趣的频率范围进行细化可以提高频率分辨率,得到精度较高的频率。细化频谱使阻尼比计算精度有一定提高,提出了半功率带宽法改进方法,如聚焦细化大容量数据谱分析法[1]和频率细化与大容量数据采集分析法[3]等。当阻尼较小时,固有频率附近谱峰较窄,而由时域截断造成的能量泄漏、频谱函数与窗函数的卷积使谱峰明显变宽[7],小阻尼估计仍然存在较大误差。

　　笔者研究运用向量空间内积模求极值诊断小阻尼的新方法。

　　1　向量空间内积模求极值诊断小阻尼的原理

式(3)的脉冲响应持续时间为无穷,因此式(3)的积分上限理论上应为无穷大。但是实际上只能得到x(t)在有限时段[0,T]的离散抽样值,因此得到的只是式(3)的近似结果。小阻尼情况下,这种截断误差对频率的影响较小,但是对阻尼影响显著[2]。

　　对阻尼影响大的原因是:小阻尼系统的响应频谱谱峰尖锐,半功率带宽相对较窄,两半功率点的确定即使有很小的误差,也会给半功率带宽的计算带来可观的相对误差。笔者探讨利用柯西-施瓦兹不等式定理诊断小阻尼的新方法。首先利用小阻尼情况下固有频率诊断误差小的特性,获得固有频率。由于快速傅立叶变换(FFT)频谱谱线存在间隔,导致基于FFT方法确定的固有频率精度不高,实际采用细化频谱方法可以获得高精度的固有频率值ω≈ωd。

内积可视为两个函数关系紧密度或相似性程度的一种度量。计算过程如下:

　　2　仿真实例