直接基于单元平衡的变截面梁反应分析方法

　　1　引言

　　变截面梁在土木、航天和机械等领域有着广泛的应用,其优点是可以随内力的变化合理地进行截面设计,节省材料同时又减轻自重。因此,对变截面梁在荷载作用下反应数值求解方法的研究具有重要的理论意义和现实的工程背景。在诸多分析变截面梁反应的方法中,有限元方法是最具灵活性和适用性的方法之一。然而以往使用有限元方法进行的研究采用的是基于单元位移插值函数建立有限元公式的方法[1-3],由于位移插值函数不能有 效地描述单元内部的位移变化,所以此类方法对于变截面梁的分析存在着本质的缺陷。文献[4,5]首先求出截面变化具有简单规律(线性、抛物线等)的梁内部位移的解析解,然后使用将解析解作为单元位移插值函数的方法取得了好的计算结果,然而这类方法仅适用于梁截面的变化极其简单的情况。近年来,文献[6-8]中针对等截面梁提出了一种使用力插值函数的梁单元模型,并在解决材料非线性问题上显示出了巨大的优越性。该方法有限元公式的建立是基于单元内部力与单元节点力满足平衡。因该方法可以回避直接对单元内部位移场进行描述的问题,所以为更好地解决变截面梁的反应分析问题提供了新的思路。一些研究者[9,10]已采用这种思路对变截面梁进行了初步的研究。此外,另有一些研究者[11,12]在对变截面梁进行研究时虽未直接说明,推导公式时也是在基于首先使单元平衡条件得到满足这一前提下进行的。但这些研究多为静力分析,涉及动力分析的较少,并且在单元等效节点荷载和单元质量矩阵的构造方法上存在着一些问题。

　　本文根据文献[6-8]中的理论推导了变截面梁的有限元公式,并且给出了单元刚度矩阵、单元等效节点荷载和单元一致质量矩阵的建立方法。在此基础上,利用编制的计算机程序进行了算例验证和分析。

　　2　位移插值函数的局限性

　　传统梁单元在公式建立时使用事先给定且形状固定不变的位移插值函数来确定单元内部的位移变化。通常采用一次多项式构造轴向位移场,Hermitian三次多项式构造横向位移场。由于位移插值函数与几何相容方程结合可以得到单元内部任一点的应变与单元节点变形之间的关系,所以此种方法建立有限元公式的实质是首先使单元的几何相容条件得到满足。考虑平面弹性梁单元且仅受节点荷载作用的情况,对应等截面和变截面时分别有式(1)和式(2)成立:

　　式中qx和qy为梁轴向和横向分布荷载,E为弹性模量,I和I(x)分别为等截面梁和变截面梁的截面惯性矩,A和A(x)分别为等截面梁和变截面梁的截面面积,u(x)和v(x)分别为梁在x处的轴向和横向变形。