连续体结构拓扑优化的一种改进变密度法及其应用

　　显而易见,应考虑建立这样的惩罚函数,使xi小于0·5的相对密度趋向于0,大于0·5的相对密度趋向于1,也就是说,使相对密度在xi取0·5时趋向于0和1的概率基本相同。本文正是基于这一思想作了初步的研究工作,使问题得到了比较满意的解决。

　　2　拓扑优化模型与新的惩罚函数

　　工程结构的拓扑优化,本质上是一种0、1离散变量的组合优化问题,也就是一个单元集合的有无与增减问题,通过不断优化迭代,保留对结构传力路径有利的结构单元,删除对结构传力路径作用不大的单元。因此从本质上说,结构的拓扑优化问题是一个包含单元增删的离散型优化问题。因而建立如下的数学模型PI:

　　1　引言

　　连续体结构的拓扑优化设计,以1988年Bendson和Kikuchi提出的均匀化方法[1]为标志拉开了序幕,并带来了工程结构拓扑优化的变革。新的方法和途径被不断提出,新的应用也不断出现,如变密度法[2-4]、变厚度法[5-7]、进化法(ESO)[8|11]以及ICM[12]方法等。就变密度法而言,其基本思想是对单元i的满材料密度E0引入

度单元趋向于0,从图上不难看出只要相对密度小于0·8的单元都迅速趋向于0,只有非常接近1的少部分单元趋向于1。这对于拓扑优化过程是不利的,一方面因为实际结构的大部分单元的相对密度介于两者之间,且大多数接近(0·4~0·7之间)[4],需要经过多次迭代逐步强化相对密度大的单元,弱化相对密度小的单元,才不会导致删除单元过多而影响其后面的最优拓扑的搜索(否则必须引入移动极限进行限制);另一方面将相对密度大于0·5而小于1的大部分单元删除并不合理。

　　显而易见,应考虑建立这样的惩罚函数,使xi小于0·5的相对密度趋向于0,大于0·5的相对密度趋向于1,也就是说,使相对密度在xi取0·5时趋向于0和1的概率基本相同。本文正是基于这一思想作了初步的研究工作,使问题得到了比较满意的解决。

　　2　拓扑优化模型与新的惩罚函数

　　工程结构的拓扑优化,本质上是一种0、1离散变量的组合优化问题,也就是一个单元集合的有无与增减问题,通过不断优化迭代,保留对结构传力路径有利的结构单元,删除对结构传力路径作用不大的单元。因此从本质上说,结构的拓扑优化问题是一个包含单元增删的离散型优化问题。因而建立如下的数学模型PI:

　　式中xi为设计变量,取0和1(0表示删除单元,1表示保留单元即实体),K为总刚度阵,U为结构的位移向量,ki为单元i的刚度阵,P为结构所受的外力向量,V为结构的体积,V-为优化后体积的上限值。