初应力位形上的附加变形和拱的弹性屈曲

　　一般地说,工程结构或构件的工作状态总可以看做含静态初应力的参考位形所作的附加变形运动.初应力可能是预应力也可能是恒载产生的应力,附加其上的变形运动可以是活载产生的变形运动.迭加于初应力位形上的小变形弹性力学,就一般原理而言已经得到了确立^[1-3].

　　无初应力的变形运动与附加在初应力位形上的变形运动有着不同的支配方程,因此,通过附加变形所表现的力学行为来反求构件或构件参数及结构或构件缺陷时必然应计入初应力的影响.弹性屈曲也是附加变形所表现的力学行为,因此也可以从初应力位形上的附加变形的途径讨论弹性屈曲及临界条件.该研究方法既适用于后屈曲分析,也适用于临界条件分析,具有理性化和规范化的优点.尽管从初应力位形上的附加变形的途径讨论弹性屈曲已经延续了较长的时期,但是如何利用杆、板和壳之类构件的几何形状,将初应力位形上的附加变形场论实用化,建立相应的应用理论[4-5],得到工程实用的成果,还是一项有待继续研究的工作.本文将该方法用于平面拱的弹性屈曲问题,得到了后屈曲分析和求临界载荷条件的变分方程、控制方程及相应的线性齐次微分方程的特征值.与建立控制方程的几何分析方法[6-9]相比,在曲线形构件等几何复杂情况下,按该方法导出的变分方程或控制方程条理清晰,不易出现差错.

　　1 初应力位形上的附加变形场论

　　当前参考位形V到即时位形?V的变换可表示为

　　式中xi(i=1,2,3)和分别为当前物质坐标和空间坐标,它们都在同一直角坐标系ox1x2x3中量度.从位形V到位形?V的位移表示物质描写uj,且有关系

　　由V到?V的变形梯度、小变形应变张量和Green应变张量分别为

　　位形V上的应力可用第一类和第二类Piola-Kirchhoff应力描写,并分别记为Tji和Sji,则有关系

　　对于弹性固体[10],第二类P-K应力可以用Green应变确定,若记本构方程

　　则当Ekl=0时,函数的值便是当前参考位形上的应力,即初应力,可记为

　　因此,定义增量第二类P-K应力

　　把上式右端在Eji=0处做Taylor展开,并保留l的线性项,得到

　　对于超弹性固体[10],可类似地得到(9)式,只是当前模量张量Ajikl具有Voigt对称性,即

　　考虑到(4)、(9)和(11)式,且保留位移梯度的二次项,可得到位移梯度与增量第一类P-K应力的二次弹性关系