一种高效的隐式间断Galerkin方法研究

　　０引　言

　　在计算流体力学领域，为了高精度地求解非线性偏微分方程组，研究更加复杂的流动现象，间断Ｇａｌｅｒ－ｋｉｎ方法已经引起人们越来越多的关注。特别是经过Ｃｕｃｋｂｕｒｎ和Ｓｈｕ的长期探索，一种具有ＴＶＤ性质的显式Ｒｕｎｇｅ－Ｋｕｔｔａ间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ（ＲＫＤＧ）格式得以逐步完善［１］，被广泛应用于双曲守恒律问题的数值求解，取得了大量令人满意的结果，显示了间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方法的优越性。然而，美中不足的是，随着逼近精度的提高，ＲＫＤＧ格式对应的稳定性条件将越来越严格，时间步长受到明显的限制，从而导致更多ＣＰＵ时间的消耗。对于定常流场的计算问题，尽管可以把当地时间步长技术与ＲＫＤＧ格式相结合，在一定程度上加速收敛过程，但是即便如此，最大的时间步长依然受到当地稳定性条件的限制［２］。缓慢的收敛速度在很大程度上制约着ＲＫＤＧ方法在工程中的应用。基于以上分析，本文建立了一种隐式间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ（Ｉｍｐｌｉｃｉｔ　Ｄｉｓｃｏｎｔｉｎ－ｕｏｕｓ　Ｇａｌｅｒｋｉｎ，ＩＭＤＧ）求解器，并通过对翼型亚声速和跨声速流场的模拟，检验了该求解器的计算效率。

　　１　间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方程

　　在二维区域Ｄ上，Ｅｕｌｅｒ方程可以写成如下守恒形式

　　Ｑ和Ｆ＝（Ｆ，Ｇ）Ｔ分别代表守恒型流动变量和通量向量。把Ｄ划分成Ｎｅ个互不重叠的子区域Ｄｉ，并且设解函数空间为

　　Ｐ（Ｄｉ）是定义在Ｄｉ上的多项式空间。设Ｄｉ上的测试函数集合为Ｂｉ＝｛ｖｉｌ｝ｌ＝０，…，Ｎ－１，它符合如下条件

　　为了控制数值离散产生的小量误差，使用加权残量法［３］，在每个单元上作如下内积运算

　　运用Ｇｒｅｅｎ公式，我们由方程（４）得到间断Ｇａｌｅｒｋｉｎ方程

　　Ｄｉｊ和ｎ分别表示当前单元的边界和相关的单位外法向量。在式（５）左边第三项的积分中，我们使用迎风格式对数值通量进行计算，实现相邻单元之间的信息传递［４］：

　　在基函数的构造过程中，我们应用Ｇｒａｍ－Ｓｃｈｍｉｄｔ方法对多项式序列

　　进行规范正交化，所得的结果即为数值格式中使用的基函数，其具体形式为：

　　三角形单元经过坐标变换后，在计算区域Ｄ＝｛（ξ，η）上，基函数满足如下条件：