反射镜轴向支撑位置优化的代理模型方法

    0 引 言

    在大口径望远系统中， 主镜工作在不同俯仰角度下，因此在径向和轴向设置有相应的支撑系统，以抵消重力在对应方向上的作用。 轴向支撑是影响面形精度的主要原因之一^[1]， 优化的轴向支撑位置有利于减小镜面变形， 提高成像质量。 大口径反射镜(400~1 200 mm)的常用轴向支撑形式是 9 个或 18 个支撑点分成内外两组，等间隔布置在两个同心圆上，如图 1(a)和(b)所示。 为了对支撑点布置的两个半径尺寸进行优化，借助有限元软件的优化功能，徐加慧等^[2]用参数化有限元模型对口径 Φ770 mm 主镜的轴向 9 点支撑的位置进行了优化设计。 王富国等^[3]参考 4 个模型的优化结果， 提出了计算最佳支撑位置的近似公式，但不能对镜面变形量给出估计值。

    在某系统口径 Φ680 和 Φ1 000 主镜的轴向支撑设计中，参考上述两种方法进行了计算。 与有限元优化的结果相比， 轴向支撑位置 R1、R2 的近似公式^[3]需要预先选择合理比例系数， 否则计算结果会存在较大误差，而且未给出镜面最大变形量的估计值，因此该方法还需要进一步完善。

    针对现有大口径反射镜(400~1 200 mm)的轴向支撑优化设计存在的问题和不足， 为了确定支撑位置与镜面变形量之间的函数关系， 实现由支撑位置快速计算镜面变形量， 首先要避免近似公式的不足和有限元分析的繁琐、耗时。 文中首先分析了镜体组成参数对镜面最大变形量的影响，确定关键参数^[4-5]；对比了多项式响应面、Kriging 和人工神经网络等模型替代方法各自的特点， 选择人工神经网络为代理模型； 从参数化有限元模型的分析结果得到 552 个样本数据，用样本数据对代理模型进行训练，建立了反射镜体参数口径 D、 中心 孔 d 和支撑位置参数R1、R2 与镜面最大变形量 D_max之间的全局非线性映射关系， 即建立了支撑位置优化问题所需要的目标函数， 精度分析和检验证明了神经网络模型代替有限元模型的可靠性。 最后利用优化算法求解，得到最佳的支撑位置。

    1 基于人工神经网络的代理模型

    所谓代理模型， 是指在不降低精度的情况下构造一个计算量小、计算周期短、但计算结果与数值分析或物理实验结果相近的数学模型。 代理模型是包含了实验设计和近似方法的综合建模技术， 图 2 为基于代理模型进行优化设计的过程， 从上到下分别是建立代理模型，使用代理模型进行计算，使用代理模型进行优化。

    目前比较成熟的代理模型有多项式响应面模型(RSM)、Kriging模型和神经网络模型(ANN)等 。