数值微分的测试系统参数估计

　　根据动态校准实验结果建立测试系统的动态数学模型,以研究测试系统的动态性能,是检测技术的一个重要内容.建立测试系统动态数学模型的方法很多,其中,传统的时域方法运用系统辨识的理论先建立相应的差分方程,经Z变换后求得离散传递函数,然后由双线性变换可以得到其连续传递函数[1,2],该方法显得较为繁琐.沃尔什变换也被用于传感器或测试系统的动态建模研究中,但所选取的数据个数必须为2的幂次方[3].

　　笔者采用数值微分的方法直接对测试系统的参数进行估计,可以直接得到测试系统的结构参数,具有简单明了的特点.计算结果表明,即使在测量数据中混有一定水平的随机干扰,只要合理选择采样点数和采样频率,也能得到较高准确度的估计结果.

　　1　测试系统的数学模型

　　大多数测试系统都可假定为集中参数、有限自由度和参数时不变的系统.对于单自由度系统,其输入输出关系式为

　　式(1)右边表示系统输入(激励)的时间变化规律;左边表示系统输出(响应)的时间变化规律;t为时间;Θ= [an,an-1,…,a1,bm,bm-1,…,b1,b0]T为测试系统结构决定的系数,未知;m,n为正整数,一般m < n.

　　假设通过对系统进行测试,得到一组测试数据(xi,yi),(i =1,2,…,N),并且求出在测试点的各阶导数,则由式(1)可得到如下测量方程

　　2　基于数值微分的参数估计

　　为了求出各测试点处的各阶导数,可以采用数值微分的方法来进行估计.常见的数值微分方法有中点法、插值法、样条求导等[4].采用样条函数作为某函数的近似函数,不但彼此的函数值很接近,而且彼此的导数值也很接近.例如,对于函数f(x)的三次样条函数S3(x),有

式(4)中,h为插值间隔.对于均匀时间t1< t2<…

　　通过求解式(6),即可达到一阶导数值mi(i =2,3,…,N-1).对于式(6)右边出现的端点处的一阶导数值,可采用常见的两点法、三点法或实用的五点法来求取.其表达式分别为[4]

　　对于输入数据xi(i =1,2,…,N)处的一阶导数值,可采样上述类似的推导得到.如果要求测试点处的二阶导数值,可在上述一阶导数值的基础上,重复运用上述推导即可.

　　3　计算结果

　　二阶测试系统的数学模型可表示为

　　式(8)中,k,ω,ζ分别称为系统的静态灵敏度、固有角频率和阻尼比.当测试系统的输入x(t)为单位阶跃信号xis,且ζ<1时,由式(8)可得系统的输出为