复信号分析在反射波初至时刻判断中的应用

　　Hilbert变换是一种重要的信号处理方法,大量应用于机械故障诊断[1-2],同时Hilbert变换是复信号分析的基础,在地质雷达数据处理中经常用到复信号分析[3-4],文献[4]对地质雷达湖底探测信号作复信号分析,得到比原信号解释更清晰的地下图像,更精确地分辨出湖底不同时期沉积的淤泥分界面。

　　节理产状应力波反演时,关键问题在于如何确定各测点反射波走时[5],即根据测试振动信号判断出节理面反射纵波初至时刻,与地质雷达采用的电磁波不同,应力波属于机械波,实际测试受面波干扰,反射纵波信噪比往往很低,直观判断难以奏效[6],文中应用复信号分析技术来对测试振动信号作分析,以检验其在识别反射波方面的效果,Hilbert变换与复信号分析技术理论与演示如下。

　　1　Hilbert变换

　　某一实函数f(t)的Hilbert变换定义为

　　因此,Hilbert变换相当于信号通过一个脉冲响应函数h(t)=1πt的线性网络,该网络也称为Hilbert滤波器[7]。

　　因为h(t)=1πt,则其Fourier变换

　　由式(2)可见,H(ω)幅度频谱为1,相位频谱为

　　Fourier变换一个非常有用的性质就是它将函数的卷积运算转化为乘法运算[5],因此信号的Hilbert变换频谱等于信号频谱F(ω)的负频域全部频率成分相移+π/2,而正频域全部频率成分相移-π/2。

　　通过上面的分析,可以得到Hilbert变换的一个重要性质,若f(t)的频带限于|ω|≤|ωc|,则有

　　式(4)、(5)证明详见文献[7]。

　　2　复信号分析技术

　　将f(t)和它的Hilbert变换f^(t)结合起来,组成一个复信号,即

　　称x(t)为f(t)的复信号,又称为解析信号。由于f(t)可分解为三角函数形式,设f(t)=A(t)cos[ω0t+φ(t)],f^(t)亦可表示为f^(t)=A(t)sin[ω0t+φ(t)],因此f(t)的复信号又可表示为

　　显然,A(t)和θ(t)都随时间而变化。A(t)称为f(t)的瞬时振幅;θ(t)=ω0t+φ(t)称为f(t)的瞬时相位,相位的时间变化率为

　　S(t)即为f(t)的瞬时频率。当φ(t)不变或变化不大时,φ′(t)可视为零或常数C,即S(t)=ω0+C,大小只与角频率ω0有关。

　　对于瞬时振幅、瞬时相位和瞬时频率,可用如下方法计算:首先由时域信号记录f(t)经Hilbert变换求得f^(t),然后计算瞬时振幅

　　是时间变量t的函数,与相位θ(t)无关。瞬时相位为

　　瞬时频率S(t)是瞬时相位函数对时间的变化率,即对θ(t)求导得

　　3　复信号分析演示

　　以下通过人工合成振动信号复信号分析来演示该技术在识别回波(反射波)方面的作用。

　　图1为人工合成振动信号,开始振动(原波引起)表达式为式(13),3.395 ms时刻零次回波传至,引起的振动表达式为式(14), 3. 728 ms时刻一次回波传至,引起的振动表达式为式(15), 4. 062 ms时刻二次回波传至,引起的振动表达式为式(16)。