基于GM(1,1)模型的小样本测量数据不确定度评定方法

　　测量的准确性是评价产品质量和科技成果可信度的重要指标,通过测量直接或间接给出测量结果,并给出其不确定度。由于在测量过程中存在诸多可能引起测量结果的不确定度分量,这些分量都会对测量结果的分散性做出贡献,使得测量结果的可能值按某种概率分布[1],测量结果可以用具有一定置信概率的一个区间来表示。

　　测量结果的不确定度往往是由A类标准不确定度和B类标准不确定度合成得到。A类标准不确定度与测量值和测量过程有关,往往采用统计方法计算,而与仪器的准确度、分辨力等有关的标准不确定度,称为B类标准不确定度,可以采用非统计方法求解。采用统计方法的前提是要具有一定量的测量数据且知道其统计分布规律,而在通常的仪器校准过程中,不可能重复测量较多次,也无法预先知道测量数据的分布规律,对于小样本测量数据采用传统的统计方法难以求得较为准确的测量不确定度。本文利用灰色系统理论的GM(1,1)模型给出求解标准差的新方法,以此来评定A类标准不确定度,对测量数据的数量和分布规律无特殊要求,适合小样本测量数据的不确定度评定。

　　1　评定方法

　　灰色系统理论对样本量没有严格要求,不要求服从任何分布,该方法针对已知小样本、贫信息等不确定性系统作为研究对象来预测系统未知的信息,使系统由“灰”变“白”。测量过程可以认为是用一定完善程度的测量仪器作为标准量,对相对不完善的被测量进行比较的过程,由于作为标准量的测量仪器本身存在一定的误差,加之测量方法的不完善、测量环境的影响等因素,致使测量系统的特征不能全部得到,测量结果在一定程度内也不能确定,因此测量系统是典型的灰色系统,其不确定性的测量结果可看做灰色量。

　　对于一个理想的测量过程,假设不存在测量误差,则每次测量结果都是被测量的真值,如图1中的直线1。n个测量数据组成测量数列

　　式中h为被测量的真值。

　　对于一个实际的测量过程,由于存在各种不确定因素,使得每个测量值都接近于但不等于被测量的真值,并且围绕该真值分散,如图1中的曲线2,此时的测量列为

　　式中δk为测量列中的随机误差,k=1,2,…,n。

　　对y(0)作累加生成,得到测量值累加曲线(图2中的曲线2)和累加数列y(1)

　　实际测量数据经累加生成后呈现出近指数规律,可用式(4)表述[2]

　　式中:a为发展系数,b为常数,a,b可按最小二乘法求解。比较图2中的直线1和曲线2可以看出,由于测量误差的存在,使得累加生成后的测量数列,从理想的线性关系变成了近指数规律。二者之间的差异程度可反映测量数列的不确定度[3]。