相位测量轮廓术中计量信息的最佳采样方式

　　V. Srinivasan等人提出的相位测量轮廓术(PMP)[1]是近年发展起来的一种性能优良的光学三维传感技术.由于PMP基于传统干涉计量法中所用到的正弦光栅投影编码和相移的原理,物面上点的相位解调具有相对独立性(与其它点的信息无关),且对计量场背景、对比度变化及系统噪声有较低的敏感性.因此对带坑孔、表面存在缺陷及形体变化剧烈的物体也能得到好的测量结果,是近年来发展起来的一种较好的非接触、无损、全场、高精度和高分辨率的三维自动传感技术,可广泛用于工业复杂曲面的自动检测和医疗诊断等领域.下面首先导出计量场以傅立叶形式表达时PMP的相位求解公式.

　　1　PMP相位求解原理

　　PMP中,准外差干涉计量场的强度分布为

   (1)

其中,R(x,y)为被测物表面的反射率分布;A(x,y)为背景强度;B(x,y)/A(x,y)为条纹对比度;φ(x,y)为相位调制函数,它表征变形条纹的相对位移特征,因而与物体高度分布Z(x,y)直接相关;δ(0≤δ≤2π)为人为引入的可控相移量.在该计量场中,通过人为改变δ并探测相应的I(x,y)就可方便地解算出φ(x,y).将式(1)等价地改写成以下形式:

　　式(2)实际上是I(x,y)的傅立叶级数表示,f(x,y)为直流分量,u(x,y)和v(x,y)为简谐量系数.若令一个周期内可控相移量为δi(i=1,2,…,N),N为总的采样点数,在δi处探测到的强度值为Ii(x,y),利用三角函数的正交性可以证明:

　　综合式(3)和式(4),于是有:

   (5)

式(5)就是步进式相移实现的PMP求解二维相位分布的公式.

　　2　最佳采样方式

　　在PMP的实现中,由于利用一周期正弦结构光作为编码光,根据正弦函数的性质,理论上,式(5)中只要N=3,即只要对函数分布中三个不同的点进行采样,就可完全准确地解出初相位值,因而原则上采样过程可任意进行.但由于实际采样过程受各种因素的影响,使采样值包含有误差,从而导致了计算结果的误差.为了提高测量精度,通常利用三个以上的采样值求解相位,这种解算过程可以看成是利用多个采样值拟合出一个正弦函数进而求得初相位的过程.对于不同的采样方式,拟合结果会不一样,因而存在一个最佳采样方式,在这种采样方式下,求得的f,u,v最精确,计量精度最高,测量结果对采样误差的敏感性最小.下面讨论PMP具体实现中的最佳采样方式.

　　实际计量中,由于采样总存在误差,采样值可一般性地表示为

   (6)

　　设得到N个时间序列点上的采样值,根据最小二乘法,误差方程为

 (7)

　　将上式两端分别对f,u,v求导:

　　为使采样误差的影响最小,令上式各项等于零并表达为矩阵的形式: