不等精度测量中自由度的探讨

　　1　不等精度测量的概述

　　不等精度测量是指测量过程中测量条件发生改变的测量.具体可以考虑为在测量过程中出现以下五种情况:(1)测量设备(装置)改变,(2)测量人员改变,(3)测量环境条件变化,(4)测量方法改变,(5)在相同的测量条件下,每组的重复测量次数不全相同.在实际数据处理中我们一般将(1)、(2)、(3)、(4)归为一类,即测量条件不同,在实际数据处理中用测量标准差不同表示测量条件不同;将(5)归为另一类,即重复测量次数不同.不等精度测量中用权表示对测量结果的信赖程度.而在前一类中权与标准差的平方成反比,后一类中权与重复测量次数成正比.

　　2　自由度的概念

　　在测量不确定度评定中,扩展不确定度的计算涉及查t分布表,而t分布中涉及自由度的问题,因此在测量数据处理中,必须考虑自由度的问题.自由度的定义是:在方差计算中,和的项数减去对和的限制数.自由度反映相应实验标准差的可靠程度.在数理统计中,若方差σ₂的估计量为s₂,则s₂的自由度为[1][5]:

　　因为

　　当取s≈σ时,可用测量结果的不可靠性Δs/s计算自由度:

　　从而,υ与s的相对方差成反比,即υ与s的相对标准差的平方成反比,相对标准差愈大,自由度愈小,反之亦然.对测量值而言,权与标准差(相对标准差)平方成反比,故自由度也即不确定度的权.

　　3　不等精度测量中自由度的确定

　　根据自由度的定义可以知道,在不确定度评定中,自由度与实验标准差的计算公式有关.而在不等精度测量中,在两类不同情况下,实验标准差的计算公式是不同的,下面分别就这两种情况进行说明.

　　3.1　在相同的测量条件下,只是重复测量次数不同

　　3.1.1　如果每组重复测量的量值均被测量出,且测量次数不相同,假设为:

　　记xi为第i组的平均值,则最佳估计值的方差s²p为[2][3]:

　　根据自由度的定义,在该方差的计算中和的平方项是mn项,约束的条件有m项,因而其自由度为

　　如果这组分别按重复次数计算出各次实验标准差si,则最佳估计值的方差s²p为:

　　其自由度为

　　3.1.2　如果每组重复测量的量值均测量出,但测量次数不相同,设各为ni,而xi的标准差s(xi)的自由度为υi=ni- 1.

　　则最佳估计值的方差s²p为:

　　其自由度为υ=∑υi

　　3.1.3　如果已知每组平均值xi以及重复测量次数ni(i= 1,2,…,m则最佳估计值的方差s²p为[2][3]:

　　其中wi为xi权,vi为残差.

　　根据自由度的定义,在该方差的计算中和的平方项是m项,约束的条件有1项,即∑wivi=0,因而其自由度为