时间序列线性/非线性在线检验

　　时间序列的线性/非线性检验是时间序列分析领域中一个受到广泛重视的问题[1-4]。线性/非线性检验有助于在对时间序列进行时域模型分析时正确地选择模型类,并可应用于工程领域中各种测试信号的状态识别。

　　本文在文[5]的基础上,研究时间序列的在线线性/非线性检验问题。

　　1　AR模型参数估计的二阶矩和四阶矩Yule-Walker方程

　　考虑由如下AR(n)模型描述的实平稳时间序列{y1}

若式(4)和式(5)的系数矩阵非奇异,则它们各自构成一定解代数方程组,由式(4)或式(5)可分别得到参数向量 的唯一解,分别称为AR模型参数二阶矩和四阶矩Yule-Walker方程估计,记为。考虑到时间序列的相关性一般随着时间间隔的增大而减弱,为减小计算误差对四阶矩Yule-Walker方程系数矩阵估计的影响,因此实际应用中应取式(5)中的下标变量j和k为较小的整数值,例如取j和k为0或1。

　　若在二阶矩Yule-Walker方程(4)中以样本自协方差函数

 (6)

作为R(2)(k)的估计(样本长度N),则二阶矩Yule-Walker方程估计与如下的最小二乘估计(对于相同的观测样本)是等价的

其中表示无约束最优化问题的解。

　　下面考察四阶矩Yule-Walker方程,以yt-k(k>0)乘AR(n)模型方程(1)两边,可得

　　若以时间序列{yt}的样本四阶矩作为四阶矩的估计量,则易见式(21)为式(5)在j=k条件下的特殊形式。至此已经建立了AR(n)模型参数的四阶矩Yule-Walker方程估计与式(16)所示的最小二乘估计间的等价关系,由此可得到四阶矩Yule-Walker方程估计的如下递推公式(其中下标变量k的取值,原则上与式(5)中j和k的取值方法相同)

如前所述,由于AR(n)模型参数的二阶矩Yule-Walker方程等价于最小二乘估计,而最小二乘估计有如下的递推算式

　　为保证在获得新的观测数据后,递推算法对参数估计值有足够的修正作用,有必要控制误差协方差矩阵衰减为零阵。为此可在递推公式(22)和(23)中采用以下策略:(1)采用渐消记忆最小二乘法,即引入遗忘因子;(2)对误差协方差矩阵进行定期重置,即每完成数次递推计算以后,将误差协方差矩阵重新赋值为某个预先设定的对称正定矩阵,例如AI(A>0),其中I为单位矩阵。

　　2　时间序列线性/非线性在线检验

　　文[5]指出,任何具有有限方差的平稳线性时间序列均可由AR模型描述,且由二阶矩和高阶矩Yule-Walker方程得到的模型参数估计是一致的。由于已经证明了AR(n)模型参数的二阶矩和四阶矩Yule-Walker方程估计分别等价于由式(7)和式(16)所定义的最小二乘估计,且相应的递推估计算法已分别在式(22)和式(23)中给出,由此可以得到如下的时间序列线性/非线性在线检验方法。