导电圆形薄板的磁弹性动力响应特征

　　导电圆板结构广泛地应用于航空航天、建筑、桥梁、电子仪表等行业，处于电磁场环境下的导电弹性体，因受力、电、磁等多种效应间的相互作用，从而形成复杂的多重耦合问题。

　　许多学者展开了这一领域的研究，如：Hua 等给出了导电悬臂梁的涡电流和挠度耦合的实验和分析[1]。Takagi 等采用 T 法计算涡电流分布，给出了涡电流和挠度耦合作用下矩形薄板动力变形的分析和实验[2]。Horie 和 Niho 在考虑矩形薄板几何非线性情况下，给出了电磁场和变形耦合的有限元方法[3]。胡宇达、白象忠等根据电动力学和非线性板壳理论，给出了圆形薄板在静磁场环境中的磁弹性振动特性[4―5]，进而忽略了对涡电流的计算。Zheng 和 Liu 研究了铁磁导电梁式板在静磁场中振律[6]。Zheng 等在考虑面内力的基础上，对导电矩形薄板的动力稳定性进行了研究[7―8]。从目前来看，绝大多数的研究集中于对矩形导电梁板结构的研究以及静磁场作用下导电圆板动力特征的研究。

　　本文在考虑了电-磁-力多场耦合效应的基础上，对脉冲激励线圈作用下，导电圆板的磁弹性动力响应问题进行了数值模拟，揭示了圆板的振幅与外加电流、脉冲参数τ 之间的关系等，进而为相关导电结构设计和安全运行控制提供参考。

　　1 基本方程

　　1.1 电磁场方程和电磁力表达式

　　电磁场的 Maxwell 方程组[9]表述为：

　　在式(1)中忽略位移电流的影响和电极化效应，式中E 、H 分别为电场强度矢量和磁场强度矢量;B 为磁感应强度矢量;eJ 为自由电流密度矢量; 为导体区域， B0和eB 分别为外加和涡电流自身产生的磁感应强度矢量;V 为板的运动速度;0μ 、σ 分别为真空中的磁导率和电导率。

　　假定导电结构的电导率为常数，对于薄板结构，可设涡电流沿板厚是均匀的，则可引入涡电流矢势T[8]，满足：

　　其中k 为板中面的法线方向。

　　将式(5)代入式(4)，再两边取旋度算子，然后代入式(2)，并忽略对涡电流贡献不大的项[10]，得到与位移耦合的涡电流的分析控制方程为：

　　式中：w为薄板挠度;0rB 为外加面内磁感应强度;0 zB 为外加 z 方向的磁感应强度。

　　在涡电流控制方程式(6)的右端项中：第一项是与外加磁场0 zB 有关，它是用来激发涡电流密度矢量eJ ，并且由eJ 产生涡电流自身场eB ，从而将导体的磁场分布变为0 eB = B +B ;第二项是涡电流和导电体变形的耦合项。

　　由涡电流矢势表示的库仑规范条件和边界条件为：

　　初始条件为：

　　依据涡电流分析的T 法[3]，则涡电流密度矢量可表示为：