基于螺旋理论的2PRS-2UPS四自由度并联工作台静力学分析

　　静力分析是并联机构设计的基础。通过静力分析确定力传递特性，进而为尺度综合等运动学设计提供依据[2]。而机构的雅克比矩阵[3，4]在静力学分析中有十分重要的应用。本文介绍了一种新型的四自由度并联工作台，通过观察的方法方便地写出工作台各分支的反螺旋，进而得出机构的约束雅克比矩阵、驱动雅克比矩阵以及其完整的6×6雅克比矩阵。最后根据虚功原理得出工作台所受外力与驱动力和约束力之间的映射关系。

　　1机构描述

　　本文所研究的并联工作台如图1所示，它由上平台、下平台以及连接它们的4个杆件组成。其中定长杆1和3上端通过球铰与上平台相联，下端通过转动副分别与滑块M1、M2相联。伸缩杆2和4上端通过球铰与上平台相联，下端通过虎克铰与下平台相联。支链1、3的滑块，支链2、4的伸缩杆分别与电动机相联，是主动关节。其中B1B2BB4为外接圆半径为R的正方形，A1A3垂直平分A2A4。

　　本文所研究的一种新型2PRS-2UPS四自由度并联工作台，可以实现绕x轴和y轴旋转的两个旋转自由度以及沿y轴和z轴的两个平移自由度[5](见图1)。

　　该工作台可以通过改变放在动平台上面的工件的位置和方向，与铣、镗、加工中心等不同类型机床组合使用，实现对具有空间任意角度平面及孔的工件加工，能够部分代替并联机床的加工要求，但并联机床与该工作台相比结构复杂，造价高昂。并联机构在机床加工领域的应用主要是并联机床，该工作台的提出为将并联机构应用于机床加工领域提供了新的思路。

　　2机构的雅克比矩阵

　　2.1约束雅克比矩阵

　　建立如图1的动坐标系p-xyz和静坐标系O–XYZ。静坐标系O–XYZ附在固定平台上，原点为O，Y轴与A1A3连线重合，x轴与A2A4连线重合，Z轴与固定平台垂直;动坐标系p-xyz附在动平台上，p为动平台圆心，x轴与B2B4连线重合，y轴与B1B3连线重合，z轴垂直于动平台。虎克铰可以表示为两个线性无关的转动副，球铰可以表示为三个线性无关的转动副，1中sji表示为支链i中第j个运动副的瞬时运动螺旋轴的单位矢量。动平台的瞬时速度$p可以表示为支链上个运动螺旋的线性组合： 

式中：θji(j=1，2，3，4，5，6)表示支链i中第j个关节的转动速率;$ji表示支链i中第j个关节的运动螺旋，Hi表示i支链中移动副的移动速率;$p=(ωc;vc);ωc表示动平台相对于定坐标系的转动速率;，vc表示动平台相对于定坐标系的移动速率。

　　设第i支链螺旋系的反螺旋为$ri= sri，sr0i3 3。 用$ri与式(1)两边做互异积得：

Jc为2×6约束雅克比矩阵，其行矢量表示支链给动平台提供的约束力。