一种高阶精度人工边界条件:出平面外域波动问题

    近场波动问题是无限域介质中的波动传播问题。有限元法结合人工边界条件的时域耦合算法是求解该类问题的有效方法。具体步骤为，引入人工边界将无限域介质划分为近场有限域和远场无限域两部分。近场可以充分复杂，采用动力有限元法模拟。远场被截去，通过在近场人工边界处施加人工边界条件模拟截断远场对近场的影响。人工边界条件也被称作无反射、吸收、辐射或者透射边界条件，它实际上是描述远场初边值问题外行波解的一种数值方法。在实际计算中，通常假定远场具有尽可能简单的初边值问题。由于我们通常仅关心远场对近场的影响，而并不关心远场本身的反应，所以这样的简化假定也是合理的。

    在人工边界条件发展的早期阶段，它们被分为局部的近似方法和全局的精确方法两类。近似方法是时间和空间局部的，即人工边界上某一点的反应仅与邻近点在之前几个时刻的反应相关。典型的方法包括多次透射公式[1]、粘弹性边界[2]、Engquist-Majda 边界[3]、Bayliss-Turkel边界[4]和 Higdon 边界[5]等。局部近方法可以采用一般几何形状的人工边界，相对容易实现，自身的计算效率高；但为了获得充分精确的计算结果，人工边界需要置于距离辐射源或者散射体适当远处，显著增加了近场的计算成本。精确方法是时间和空间全局的，即人工边界上某一点的反应与全部人工边界点在之前全部时刻的反应相关。典型的方法包括 Dirichlet-to-Neumann (DtN)边界[6]和比例边界有限元法[7]等。全局精确方法能够置于距离辐射源或者散射体充分近处，显著降低近场的计算成本；但其自身的计算效率低，通常需要采用特殊几何形状的人工边界，相对难于实现。

    自从 20 世纪 90 年代，基于上述局部近似方法和全局精确方法，人工边界领域取得了一些重要的研究进展，打破了近似方法和精确方法间的严格界线，人工边界方法本身的计算精度和计算效率得到了合理的平衡，建立了一系列能够更为有效地求解近场波动问题的高阶精度人工边界条件。一方面，局部近似方法[3―5]的表达式包变量的时间和空间高阶导数，虽然在理论上是高阶精度的，然而在实际计算中通常仅应用到二阶或者三阶。研究者通过引入辅助变量将这些理论高阶方法实现到任意高阶，建立了一系列高阶精度人工边界条件。关于该类方法的综述见文献[8]。自该综述后，该类方法的主要进展是基于 Higdon 边界提出了一种新的辅助变量公式[9]。另一方面，从全局精确方法[6―7]出发，应用时间局部化方法，建立了各种高阶精度人工边界条件[10―14]。时间局部化方法首先将卷积算子转化为高阶微分算子，然后通过引入辅助变量将高阶微分算子等价的实现为低阶微分算子。有理函数近似[13]是将卷积算子转化为高阶微分算子的一种有效方法，然而其稳定性和参数识别相对复杂，有待深入研究。现有的辅助变量公式为非对称[10―12]和对称[14]的时间一阶常微分方程组。非对称系统与近场有限元方程分别采用不同的时间积分方法求解，这样的耦合算法必须保证两种积分方法的耦合稳定性；对称系统与近场有限元方程形成耦合动力方程，可以采用现有的动力学隐式时间积分方法求解，然而由于耦合方程不是时间二阶系统，因而无法采用动力学显式时间积分方法求解。