相邻CE-Bézier可展曲面间的光滑拼接

    在许多以金属板、纸张、皮革、布料、毛皮等为原材料的产品制造方面（如飞机、船体、汽车、鞋子和衣服等的设计和制造），可展曲面是经常遇到的一类特殊而又非常重要的曲面［１］．在现有的ＣＡＤ／ＣＡＭ系 统 中，通 常 把 曲 线 曲 面 表 示 为Ｂéｚｉｅｒ和Ｂ样条的参数形式，因此对Ｂéｚｉｅｒ和Ｂ样条上可展曲面的研究具有重要的理论价值与实际应用价值．

    构造可展曲面主要有２类方法：ａ．基于欧氏空间中曲面规范化表示的方法，即点几何的方法［２－５］，该方法是把可展曲面看作一个直纹面的特殊情况，对直纹面的方程附加某种约束以构造一个可展曲面，这类方法的主要缺点为特征方程的非线性导致了相当复杂的计算；ｂ．基于曲面对偶表示的方法，即线、面几何的方法［６－９］，这类方法虽然避免了第一类方法中可展曲面的非线性特征方程，但没有考虑可展曲面的形状调整和控制问题，而且控制平面与可展曲面的关系也不明确．

    为了不通过重新确定控制网格、控制平面来对生成的可展曲面进行形状调整，文献［１０－１１］分别利用了包含一个形状参数的λ－Ｂ样条和Ｃ－Ｂ样条曲线来进行可展曲面的设计，使生成的可展曲面在一定范围内都可进行形状调整．因为生成的可展曲面都只含单个形状参数，所以对可展曲面的形状调节有一定的局限性．为了进一步增强可展曲面的形状调节能力，文献［１２］提出了一种带２个形状控制参数的ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ可展曲面．ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ可展曲面不仅完全达到了文献［６－１１］中的效果，而且在一定范围内还可以进行多种方式的局部形状调整．然而，在ＣＡＤ／ＣＡＭ领域中常常会遇到复杂组合可展曲面的几何设计问题，而复杂的可展曲面往往又难以用单一的可展曲面来表示，所以要解决的关键问题是如何实现可展曲面间的光滑拼接，这是它们方便、灵活地应用于复杂可展曲面造型设计的关键．为此，本研究基于ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ可展曲面的基本理论，给出了该可展曲面间Ｇ１光滑拼接、Ｆａｒｉｎ－Ｂｅｈｍ　Ｇ２连续［６－８］拼接以及Ｇ２　Ｂｅｔａ约束拼接的充要条件，极大地增强了ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ可展曲面的造型能力．

    １　ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ可展曲面的定义

    １．１　ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ参数化曲线

    定义１　给定４个控制顶点Ｐｊ∈Ｒｎ（ｎ＝２，３；ｊ＝０，１，２，３），对ｔ∈［０，１］，定义曲线

式中：α，γ∈［－２，１］称为形状控制参数；ｂ３ｊ（ｔ）为基函数．称式（１）所定义的参数曲线为ＣＥ－Ｂéｚｉｅｒ曲线［１２］．四次多项式基函数ｂ^３ｊ（ｔ）（ｊ＝０，１，２，３）为