Cosserat理论的有限元实现及微梁弯曲的尺寸效应模拟

　　虽然传统连续介质理论在工程实践中取得了巨大的成就,但是诸多事实表明,传统连续介质理论描述材料在微观尺度下的性质有着明显的局限性.如:Fleck[1]等在细铜丝扭转试验中发现,当细铜丝的直径从170μm减少到12μm时,无量纲化的扭矩增加至原来的3倍.Stolken和Evans[2]在薄梁弯曲实验中观察到,当梁的厚度从100μm减少到12.5μm时,无量纲化的弯曲硬度也显著增加.在微米及亚微米压痕实验中,当压痕压入深度小于50μm时,压痕硬度表现出非常强烈的尺寸效应[3],对于金属材料,所测得材料硬度值随着压入深度的减小可达到传统硬度值的2~3倍左右.人们逐渐认识到,造成上述现象的原因是由于传统的连续介质理论的本构关系不包含任何特征长度尺寸,所以它难以预测材料的尺寸效应[4].

　　采用引入了高阶连续结构的Cosserat连续体理论是引入正则化机制的主要途径之一.20世纪初,Cosserat兄弟提出了Cosserat理论[5](也称简化的偶应力理论),该理论引入偶应力mi和相应的变形分量曲率ki,分别建立了形变方程、平衡方程和本构方程.到20世纪60年代, Toupin[6]讨论了在连续介质中引入高阶梯度的基本原理,假定应变能密度函数不仅依赖于应变,而且依赖于转动梯度,得到线弹性偶应力理论.Mindlin[7]给出了简化的偶应力理论,又称之为约束转动的Cosser-at理论.Providas和Kattis[8]在Cosserat理论框架下构造了3,6节点平面三角形单元,并给出了分片试验的讨论.肖其林等[9]基于Hellinger-Re-issner变分原理,提出了一种适用于偶应力问题的混合/杂交单元法.在Cosserat理论中,由于引入转动梯度,在本构模型中自然出现了一个具有长度量纲的新的材料常数,这个材料常数与材料的微结构有关,这就开拓了研究考虑微结构影响介质力学的新局面.

　　微电子工业常常遇到微米水平下的设计与制造问题,如:薄膜、微传感器、微制动器及微电子机械系统(MEMS).这都将遇到微米尺度下的尺寸效应[10].作者通过总位能泛函建立Cosserat理论的变分原理,将转角作为独立自由度建立其有限元基本列式,进而编制相应的有限元程序,并模拟微米尺度下悬臂梁的尺寸效应.

　　1　Cosserat理论简介

　　1.1　Cosserat微元体及平衡方程

　　如图1所示,平面Cosserat微元体的应力分量在经典弹性理论的基础上增加了偶应力μx,μy(未考虑体力和体力偶).由力平衡及力矩平衡可得到Cosserat介质[11-12]的平衡方程为：

　　可以看出,式(1)和式(2)与经典弹性力学中的平衡微分方程相同.式(3)表明,考虑了偶应力后,剪应力τxy和τyx不再互等.

　　1.2　几何方程

　　位移向量为{u}={u vω}T,广义应变向量为{ε}={εxεyγyxγxykxky}T,其中,ω为微元体中心o的转角;εx,εy,γyx,γxy分别为正应变与剪应变;kx,ky为微元体中心的曲率.在简化的偶应力理论中: