平板收缩流的对数构象模拟

    1 引言

    在粘弹流体流动的数值模拟中，存在高We数问题[1-3]，即当表征流体弹性力与粘性力之比的无量纲参数We超过某个临界值时数值解发散，但此时实际流动并未产生不稳定情况[1]．关于高We数问题的本质及产生的原因，学术界至今未有定论[4]．

    目前，粘弹流体流动的数值模拟主要采用基于连续介质理论的宏观方法，该方法需要一个微分型或积分型的构方程来描述聚合物应力和应变的关系[1]．数值实验表明[5]，应力张量在高形变率区域与流场几何奇异点附近按指数规律变化，而现有的数值方法对本构方程中应力张量的逼近均基于多项式逼近，故难以准确描述应力张量的变化规律．若基函数采用指数基或将本构方程转换为关于应力张量对数的演化方程，则可避免上述问题．但该方案在数值实现中，需要应力张量保持严格正定，而现有的数值方法无法保证这一点．因此，可选用保证正定性且与应力张量密切相关的其他量作为求解变量．构象张量(conformation tensor)是流体微观状态的近似描述，与应力张量密切相关，且计算中始终保持正定[4]，可作为本方程的求解变量．因此，Fattal[5]于2004年提出了对数构象方法(Log-Conformation Represent Method)．

    对数构象方法将流体本构方程转换为构象张量对数的演化方程，利用构象张量与应力张量的关系耦合流动方程．基于此方法，Fattal[5]结合有限差分法模拟了Finitely-ExtensibleNonlinear Elastic (FENE) Chilcott-Rallison 模型的二维方腔驱动问题，数值结果证实此方法增加了数值计算的稳定性，并提高了计算中的临界We数．随后，Hulsen[6]结合有限元方法对圆柱绕流问题进行了数值模拟，其研究结果表明：对Giesekus模型，几乎不存在临界We数；但对Oldroyd-B模型，高We数时流动呈现不稳定性，且数值结果存在网格依赖性．2008年，Gu′enette[7]等结合各向异性自适应网格技术模拟了Oldroyd-B模型和Giesekus模型的圆柱绕流问题，其数值结果显示，对Oldroyd-B模型，临界We数可提高到0.7．

    目前，采用对数构象方法求解高We数问题的研究仍以有限差分和有限元方法为主[5-9]．相对于前两种方法，在处理守恒方程时，有限体积法以物理意义明确、存储量小、计算效率高及易于处理压力和速度耦合等诸多优点，近年来在粘弹流体流动的数值模拟中被广泛应用．基于交错网格的有限体积法[10]通常需要三套网格来存储变量以解决速度-压力以及速度-应力耦合问题，导致其实施非常烦琐；而利用插值技术解决速度-压力以及速度-应力耦合的同位网格有限体积法，只需要一套网格来存储变量，该方法由于实施简单而受到许多研究者的青睐[10-14]．因此，本文选取同位网格有限体积法结合对数构象方法求解粘弹流体流动的高We数问题．