部分水下弹性支承等截面梁柱的自由振动分析

　　随着海洋石油勘探与开采、海上风力发电等的迅速发展，各类海洋结构在海风、波浪和潮汐等载荷作用下的动力行为成为海洋工程中的研究热点之一。其中一类海洋结构的动力学性能可由浸入流体中的自由端处具有集中质量块的悬臂梁动力学性质刻画。因此，浸入流体中悬臂梁动力学性能的相关研究，尤其是固有频率及固有模态的研究已有较为丰富的成果。Chang 和 Liu[1]利用传递矩阵法，考虑集中块的质量、质心位置和转动惯量等的影响，研究了浸入流体中的弹性支承悬臂梁的固有频率和振动模态。Usci?owska、Ko?odzie[2]和 Öz[3―4]分别用解析和有限元方法研究了浸入流体中固定支承悬臂梁的固有频率，给出了相关的低阶固有频率和振动模态。利用加质量法，Wu 和 Lin[5]、Wu 和 Hsu[6―7]研究了浸入流体中的自由端处具有集中质量块的悬臂梁的自由振动问题，并与已有的结果进行了详细比较。而关于楔形悬臂梁自由振动问题的研究可见文献[8―9]。

　　在这些研究中，通常悬臂梁的支承端或为固定的[2,4,8―9]或等效为弹性支承[5―7]，即用相互独立的水平弹簧和旋转弹簧分别描述支承端位移和转动约束。然而，土-桩相互作用研究表明，支承端的水平位移约束和转动约束是相互耦合的[10―11]。为此，Zaaijer[12―13]在研究海上风力发动机结构的固有频率时指出耦合的水平位移约束和转动约束模型可给出较为精确的结果。然而，这些工作并未考虑自由端处集中质量引起的轴力对梁固有频率的影响，对大型海上风力发电机而言，机舱和叶片的重量将导致塔体内较大的轴向压力，进而影响结构的固有频率及振动模态。本文研究在自由端集中质量引起的轴力作用下，支承处水平位移约束和转动约束耦合的浸入流体中悬臂梁的自由振动，相关结果可为深入研究海洋平台、海上风力发电机等结构的动力行为提供基础。

　　1 固有频率和振动模态

　　考虑图1 所示浸入流体中长为L 、横截面面积为A 、直径为d 的等截面 Euler-Bernoulli 圆梁，其密度为 ρ ，弹性模量为 E，梁在oxy 平面内弯曲时的截面惯性距为 I。梁的一端 x = L处刚性连接质量和质心处转动惯量分别为tm 和tJ 的质量块，质心距为 e。设水深为1L ，密度为fρ 。梁的另一端 x =0与土中的桩基连接，由土-桩相互作用而提供的桩头刚度分别为wwK 、w wK Kθ θ= 和 Kθθ[10 ― 11]。记1( , )( )aw x t L < x < L和1( , )(0 )fw x t < x < L分别为空气和水中梁段的横向位移，考虑集中质量块产生的轴向压力tm g 对梁横向振动的影响，则梁的运动控制方程为[5―6]：

　　这里，Kwθ描述了水平位移约束和转动约束的耦合效应。空气中梁段和流体中梁段的连接条件为：