用剪力图面积法作静定梁的内力图的探讨

　　一、引言

　　在工程构件中,最常见的变形形式是弯曲变形和弯扭组合变形。它们的强度计算必须以剪力图和弯矩图的绘制来找到危险截面为前提,而常见剪力图和弯矩图的绘制方法主要是采用微分法1运用此法绘制剪力图时,不需列出剪力方程,只需根据外载荷、支座反力情况就可画出图形,比较简便;但是,在绘制弯矩图时,需列出弯矩方程从而求得各截面的弯矩值,很繁琐,同时很容易出错1其实,剪力图和弯矩值之间是有一定规律的,利用这种规律可使计算量大大减少,即用剪力图面积法绘制弯矩图1

　　二、为了简捷地绘制F_S、M图,必须寻找FS、M图随载荷不同而变化的规律。

　　一般情况下,F_S、M图是截面位置的不连续函数,或者说是分段定义的连续函数。载荷变化处(集中力、集中力偶作用处,分布载荷的始末端)为FS、M函数的分界线,所以需分段绘制F_S、M图。

　　1.F_S、M图在函数分界线处的特点

　　集中力作用处。剪力图有突变,突变值等于集中力的值。从左向右作图时,集中力向下,向下突变,反之,则向上突变;弯矩图发生转折。

　　集中力偶作用处.剪力图没变化;弯矩有突变,突变值等于集中力偶矩的值。从左向右作图时,外力偶顺时针转向,弯矩向上突变,反之向下突变.

　　2.F_S、M图在函数分界线之间(不含分界线)的特点

　　梁上的载荷在分界线之间(不含分界线)分两种情况:

　　(1)存在分布载荷,;(2)无载荷作用,q(x)=01

　　因此要了解FS、M图在函数分界线之间的特点,需分析弯矩、剪力与分布荷载集度间的关系。业已证明,弯矩、剪力与分布荷载集度间存在如下微分关系。

　　利用高等数学可知,上式的几何意义分别为:剪力图上某点处的切线斜率等于作用在该点处外荷载集度的大小;弯矩图上某点处的切线斜率等于该点处剪力的大小1根据上述微分关系可知梁上荷载、剪力图和弯矩图之间的一般规律:

　　(1)分界线之间,梁上无载荷作用,即q(x)=01剪力图为一水平线;弯矩图为斜直线,剪力向下,直线向下倾斜,反之,直线则向上倾斜1

　　(2)分界线之间,梁上有均布载荷,即q(x)=C(常数)1剪力图为斜直线,载荷向下,直线向下倾斜,反之则向上倾斜;弯矩图为二次抛物线,载荷指向向下,抛物线上凸,反之下凸。

　　三、剪力图面积法解析

　　弯矩图绘制的关键是求得分界线所在截面的函数值,这里摒弃传统的列弯矩方程求弯矩值,而用剪力图面积来求1上式º可改写微积分形式,得

式④表示:梁上x=b截面上的弯矩等于x=a截面上的弯矩与对应a、b截面之间剪力图曲线与x轴所围几何图形面积的代数和。