四边固支矩形厚板分析的有限积分变换法

　　弹性矩形厚板是土木工程中较常见的一种结构形式,例如重型飞机跑道、集装箱运输车辆场坪、航天发射场坪、高层建筑筏板基础、船坞底板等。但是,由于厚板基本方程比薄板基本方程复杂得多以及数学方面的原因使得求其解析解是非常困难的。许多学者在求弹性矩形厚板的弯曲问题时提出了各种方法,主要可分为数值法和解析法两大类。数值法主要为有限元法[1-4]、边界元法[5-7],但这类方法的缺点是输入输出量大,计算较麻烦。解析法有三角级数法和叠加法[8],这两种方法可以得到解析解,但求解过程中不但非常复杂,并且需要事先人为的选择好位移函数,而位移函数的选取具有一定的任意性,无规律可寻。而近年来将辛几何引入弹性力学问题的求解成为一个研究热点[9-12]。积分变换法是求解微分方程以及弹性力学问题解析解的较好的方法之一[13],该文从弹性厚板问题的基本方程出发,采用二维有限积分变换方法求出了完全满足四边固支边界条件矩形厚板位移和内力的精确解。由于求解过程中不需要人为选取位移函数,因此求解过程更加合理。

　　1 矩形厚板方程和有限积分变换

　　弹性矩形厚板的控制方程为[14-15]

式中为板的抗弯刚度;C =为板的抗剪切刚度;E、h、L分别为板的弹性模量、厚度、泊松比;q为作用于板表面的外力荷载。上述方程组含有三个广义位移,其中为板的挠度函数,分别是变形前垂直中面的直线段在xz、yz平面内的转角。由这三个广义位移可以求出内力,如板的弯矩为

　　四边固定矩形厚板的坐标如图1所示,根据文献[13],对于任意函数的二维有限正弦及余弦混合积分变换可以表示为

式(2)中各阶偏导数的有限混合积分变换为

式(1)、(2)进行有限混合积分变换,式(3)进行有限正弦积分变换,将式(11)-(23)及边界条件式(24)、(25)前两项代入,得

　　将式(30)-(33)代入式(8)-(10)定义的有限积分的逆变换,可以得到

为求得Im,Jm,Kn,Ln,将式(35)、(36)代入边界条件式(24)、(25)第3项,得

式(37)、(38),式(39)、(40)分别相减、相加,则式(24)、(25)第3项表示的边界条件可化为

　　将式(30)-(33)代入式(41)、(42)并计算无穷级数极限和,分别得到

　　利用Matlab由式(43)-(46)计算出Im,Jm,代入式(34)-(36)即可求得完全满足由式给出的边界条件的四边固支矩形厚板问题的精确解。

　　2 算例

　　为了验证该方法的正确性,以文献[15]中均布荷载作用于四边固支矩形厚板为例,取a/b=1,μ=0.3,计算厚板中点挠度与固支边中点的弯矩。表1、表2列出该方法计算结果与文献[15]结果对比。