含多处任意脱层层合梁屈曲的微分求积解法

　　复合材料层合结构因其比刚度大、比强度高等优良特性,在航空、航天和汽车等领域得到广泛应用.然而,层合复合材料层间剪切强度和横向强度较低,易发生层间剥离,严重削弱了层合构件的承载能力,使其在远低于设计载荷时屈曲失稳,甚至造成灾难性后果,这已成为制约层合复合材料结构应用的瓶颈.因此,层合构件的稳定性分析一直是国内外研究的热点,诸多学者通过试验、理论分析和有限元计算,对含单一脱层、对称或者等长多处脱层的层合梁/板的屈曲和后屈曲特性进行了分析[1-8],从理论研究和工程应用方面都取得了广泛的成果.

　　微分求积DQ(DifferentialQuadrature)法具有高阶插值和无网格(点离散)特点,其计算高效率与高精度的优势使之在众多科学和工程领域得到了广泛重视和应用[9-10].文献[4]采用DQ法对含对称单脱层特殊正交层合板进行了屈曲和后屈曲分析.然而,现有文献对层合复合材料结构含任意多处脱层情况研究较少[5],因此,本文基于DQ法建立了复合梁模型,研究含任意位置多处脱层的层合梁屈曲问题,给出了脱层长度、深度以及脱层相对位置对层合梁稳定性的影响规律,同时也证明了本文方法是一种简明高效的计算方法.

　　1 DQ法简介

　　DQ法是由文献[11]提出的一种用于解决线性和非线性微分方程(组)的数值方法.其基本思想是:对于函数定义域内的给定节点:其导数可用域内节点(包含边界节点)上函数值的加权求和来表示.则微分方程(组)可以化为简单的代数方程组进行求解.在DQ法中,节点分布通常有2种模式:均匀分布和余弦分布.研究表明:节点分布模式对求解收敛速度和精度的影响较大,一般余弦分布模式比均匀分布模式更有利于提高收敛的稳定性和结果的精度[9].故本文采用余弦分布模式,选择Lagrange插值多项式作为试探函数.关于DQ法的详细介绍可参考文献[9-10].

　　2　含脱层梁屈曲问题

　　如图1所示正交铺设层合梁.单层复合材料坐标系方向与材料主方向一致.铺层顺序为[0/90]10S.x为0°纤维方向,z为梁厚度方向.

　　材料参数为

　　Ⅰ和Ⅱ为2个任意深度和任意长度的穿透型脱层,可将层合梁分成7个独立的子梁,①~⑦表示子梁序号.定义每一子梁x方向(轴向)长度为li(i=1,2,…,7),z方向(横向)厚度为ti(i=1,2,…,7),梁总长为L,总厚度为T,取宽度为1.图1中,脱层Ⅰ和脱层Ⅱ的长度分别为l2和l5.

　　各子梁在轴向压力下的控制方程[7]为

　　式中,Di为各子梁抗弯刚度; ti为各子梁厚度;E1为层合梁轴向弹性模量;υ12和υ21为泊松比;Pi为各子梁轴向压力;wi和θi分别为各子梁横向挠度和转角;G为横向剪切模量;k为剪切因子.