弹性半平面中斜裂纹问题的应力强度因子

　　超奇异积分方程法是断裂力学问题求解的新方法，近来有许多力学工作者在这方面开展研究工作，在利用超奇异积分方程计算弹性体裂纹问题方面取得很大进展. 弹性半平面体中裂纹问题是许多工程结构和机械零部件强度计算面对的一个很重要的问题，具有广泛的工程研究价值. 文献[1-2]针对平行于边界的裂纹问题分别就自由边和固定边半平面裂纹问题进行了研究和计算，文献[3]讨论了双材料平面中任意斜裂纹问题，给出了超奇异积分方程，并就一般双材料情况(材料的切变模量比 0

　　1 超奇异积分方程

　　设自由边或固定边半平面中有单个任意斜裂纹 Γ，在裂纹岸上受分布力 Fi(!′)(i=1，2)，如图 1 所示，问题的超奇异积分方程为

　　其中：“=#”为超奇异积分算子，u"*i(P)=u*i(P+)- u*i(P-)为裂纹岸位移间断，G为材料的切变模量，常数 " 在平面应力和平面应变情况下分别为 "=(3- #)(/1+#)和 "=(3- 4#)，#为材料泊松比. 正常积分项积分核 Kik(P，Q)的表达式

　　这里 $11=cos%，$12=sin%，$21=- sin%，$22=cos%，函数 fmnk和gmnk由基本解导出[3]. 对于自由边半平面情况，取其中的参数A=1，B=1;对于固定边半平面情况.

　　2 数值算法

　　2.1 正则化方程

　　引入变量和函数代换：

　　可将式(1)正则化为

　　并可把 fi(r)表为

　　2.2 离散方程组

　　由于裂纹间断变化的连续性，可以知 Fi(r)在闭区间[- 1，1]上是有界连续函数，将其近似表示为第二类Chebyshev多项式截断级数：

　　把式(3)、(4)代入正则化积分方程组(2)，可将其化为如下由两个方程组成的线性代数方程组

　　方程组的系数

　　这里，Rn(s)=- !(n+1)Un(s)为超奇异积分的有限部积分[4]，!ik为 Kronecker 数.

　　为确定待定系数 akn，需配置足够数目的线性方程，取第二类 Chebyshev多项式在开区间(- 1，1)上的 N+1个零点作为配置点：

　　可将式(4)离散为以下线性方程组

　　方程组(8)包含 2(N+1)个方程和 2(N+1)个未知数.

　　在裂纹端点应力强度因子计算公式为

　　其中，Fk(±1)可利用第二类 Cebyshev多项式在区间端点的极限值进行计算

　　3 数值结果

　　假定在裂纹岸上作用大小相等、方向相反的均布压力 F0，取不同的裂纹位置 c/2a，不同的裂纹法向倾角%，按照本文方法用 Fortran 语言编写计算程序，计算得到弹性半平面斜裂纹问题在边界附近的应力强度因子数值结果如表 1 所示，其中 Kk=Kk/(F0a")(k=I，II). &=0°为裂纹平行于边界的情况，计算结果分别与文献[1-2]相关结果相同(见表 1). 在边界附近，应力强度因子发生急剧变化，固定边致使应力强度因子急剧减小，而自由边则引起应力强度因子急剧增大. 同时，边界的作用使边界附近的裂纹即便是受单一(Ⅰ型或Ⅱ型)载荷作用，也具有混合应力强度因子. 而在裂纹远离边界(c/2a>5)时，边界对应力强度因子的影响基本消失，应力强度因子趋于均质材料情况. 裂纹方向不同也导致应力强度因子呈现复杂的变化规律. 在裂纹面上分别作用均布法向力 F0、均布切向力 Q0，较大应力强度因子随裂纹位置的变化规律如图2 所示.