弹性结构与晃动液体耦合系统的动力特性分析

　　结构与晃动液体的耦合作用是工程中常遇的问题,对于结构的稳定性和可靠性具有显著影响[1-2]。目前,仅有少数特殊形状容器内液体的晃动特性获得了解析解,而对于一般形状的容器,多采用边界元法、VOF方法、任意拉格朗日-欧拉(ALE)法和有限元等数值方法进行分析[3-7]。由于液体晃动与结构耦合问题的复杂性,数值求解效率不高,例如采用有限元法分析流固耦合系统动力学问题时,位移(结构)-压力(流体)格式的流固耦合方程是非对称的,这种大型非对称方程的高效求解就是一个必须解决的问题[3, 8-10]。笔者在结构-流体耦合系统中考虑液体表面的自由晃动,并利用弹性力学中的弹性波传播理论,对液体边界条件进行处理,构造液体晃动的固相弹性体模型,建立位移-压力格式的流固耦合方程,探索高效分析计算的方法,进而在计算分析流固耦合系统特征频率和模态的基础上,建立地震条件下储液容器的有限元模型。

　　1 基本方程

　　对于薄壳充液容器,容器内液体要满足的运动方程及边界面上的条件为[3]

　　(a)在V内要满足Laplace方程(用柱坐标描述)

式中,p为液体的动压。

　　(b)在自由液面S1上,由于晃动而产生的重力波动

式中,g为重力加速度。

　　(c)在固液交界面S2上满足

式中,vn为容器壁面速度;n为S2外法向。

　　因固-液两相在界面处不允许分离,所以式(3)表示了在边界法线方向上流体与固体应具有相同的位移、速度和加速度。

　　2 液体晃动问题的流固耦合模型

　　2.1 液体晃动的固相模型

　　研究采用固体单元属性构建液体单元,这种简化的处理方法,可将液体晃动问题转化为固相弹性体的动力学分析。基于弹性力学中的弹性波传播理论[11],弹性动力学的Lame-Navier方程为

式中,ui对应于x,y和z方向上的位移u,v和w;Q为弹性体的密度;K和G为Lame常数。

　　比较式(4)和式(1),令u =v =Qs=0,Lxy=Lyz=Lxz=0,Ex=Ey=Ez=1,Gxy=Gyz=Gxz=1,并用p代表w,则式(4)可以退化为式(1)。

　　弹性体在z方向的边界条件为

式中,nx,ny和nz为弹性体边界外法向的方向余弦;Tz为弹性体边界上的z方向面力。

　　令Tz=vn#n,用p代表w,可以构建固液交界面S2上的边界条件,见式(3);同样,令用p代表w,可以构建固液交界面S1上的边界条件,见式(2)。

　　2.2 流固耦合模型

　　对流体采用压力格式描述,对结构采用位移格式描述。流体单元e内压力分布为

式中,Me为流体单元的结点数;pe为单元的结点压力向量;?Nm为对应结点m的插值函数。结构单元e内位移分布为