小垂度柔索非线性随机响应分析

　　由于索具有高强度、轻质量在工程中被广泛应用。它可用来支承结构,传送材料,拖动车辆等。然而由于其柔性大、固有阻尼小,在外载作用下或支承运动时,容易导致大范围振动。柔索是斜拉桥的重要支承部件。对于很多斜拉桥,大范围振动会导致在索与支座的联结处产生微小裂纹,保护系统会因此被破坏,从而使柔索结构失效,随着大跨度斜拉桥的出现,其整体柔性不断增加,在地震或强风等随机载荷作用下常发生大范围振动而使整个桥都被催毁的灾难性事故。作为斜拉桥主要受力部件的索动力学问题研究已有很多文献[1~4]。但这些文献或者是对索的自由振动及简谐载荷作用的强迫振动响应进行研究[1,2],或者利用摄动理论对其稳定性进行研究[3]。对于随机激励下柔索的动力学特性的研究,除文献[4]研究了大运动的柔索的非平稳随机响应外,未见有进一步的研究报道。

　　作者基于小垂度柔索非线性动力模型,研究弱平稳窄带随机激励下柔索的动力学特性,并探讨了随机激励的带宽,振幅,频率与响应的关系。

　　1　运动方程

　　两端固定的索,在直角坐标系(X,Y)下,静态平衡构形为y(s),横向位移(面内)为d,质量线密度为m,横向阻尼因子为R0,横向激振力为f(x,t),纵波与横波的速度为V1与V0,则对于静态平衡构形的任意扰动,动力学方程为[1]:

　　由方程(6)可以看出,激励F(T)的中心频率接近于一整数时,将可能发生共振,作者研究当激励的中心频率接近于该阶模态的固有频率时的共振现象。

　　2　响应分析

　　2·1　运动方程等效线性化

　　将方程(5)等效线性化表示为[5]:

　　由图2可以看出,对于给定的εφ2,对不同的β响应曲线彼此有两个交点,一个交点在曲线最上面的分支,另一个在中间分支上。因此,在响应曲线的上方稳定分支上,与β有关的变量σ21的特性依赖于Ω之值。当Ω接近于1时,σ21随β的增加而增大;但是,对于更大的Ω值,σ21随β的增加而减小。在下的稳定分支上,σ21随β的增加始终增大。

　　对于给定的β与不同的εφ2,响应曲线互不相交(图1),因此,在响应曲线稳定的部分,σ21始终随εσ2的增加而增加。

　　上述分析说明,对于较小的β,在窄带随机激励下的响应曲线与在简谐激励下的响应曲线相似。激励的带宽β的大小在确定响应的特性时起临界作用。当带宽β=0时,即当激励的随机振幅与随机相位为与时间相关的简谐激励时,现在的分析结果与简谐激励的结果相同。随着β的增加,响应曲线的峰值下降,响应曲线具有一定的对称性(图2)。最后,当β超过βcrit(φ)时,对于任意的Ω,响应为单值的。同样,当β超过βcrit(φ)时,σ21变为φ2的单值函数。因此,当β增加时,响应曲线就从简谐激励的非对称的3值响应曲线逐渐过度到宽带激励下的单值响应曲线。