圆柱壳振型进动的研究

    0　引　言

    轴对称圆柱壳谐振子绕其中心轴旋转时,其振型在环向将产生进动,振型的进动角ψ与壳体绕中心轴转过的角ψ₁有一恒定的关系(图1),可写成ψ= kψ₁,k称为振型的进动因子。

    文献[1]对圆柱壳振型的进动情况作了分析,但没有考虑激振力频率对振子振型进动的影响。本文讨论无阻尼时激振力频率对进动的影响,通过推导圆柱壳沿中心轴方向旋转时k的表达式对悬臂圆柱壳作了具体分析,给出了k值随壳体结构变化的规律,这些工作对于研究旋转圆柱壳的振动响应有很大应用价值。

    1　理论推导

    图2为圆柱壳示意图,中心轴为x,其壁厚、中柱面半径、长度分别为h、r、L,材料的弹性模量、泊松比和密度分别为E、μ、ρ,在惯性坐标系下壳体上任意一点处的位移为: V= u i+v j+w k,其中u、v、w分别为沿轴向、环向和径向的位移; i、 j、 k为相应的单位矢量。角θ为环向坐标,x为轴向坐标。记ut=u/t,u^tt=2u/t2……对v、w有相同的记号。当壳体不旋转时,设壳体上任一点的弹性力为d Fe= (eu i + ev j +ew k)dA,在虚位移δ V=δu i+δv j+δw k下,壳体弹性力做的功为:

式中:e_u、e_v和e_w为弹性力在坐标轴上的投影。

    由弹性理论可知,δW0与时间无关。壳体上任一点处的惯性力为:

式中:a_mnj、b_mnj、c_mnj为壳体不旋转时,沿轴向、环向及径向的振幅系数;ωj为激振力频率;θ0为激振力位置角。

    再考虑圆柱壳绕中心轴以 ωN旋转的情况,在旋转圆柱壳上建立相对壳体不动的相对坐标系,由文献[3]可得圆柱壳在相对坐标系下的位移表达式,又由文献[4]可得在相对坐标系和惯性坐标系下的位移转换关系,所以节径数为m、轴向半波数为n时,壳体上任一点在惯性坐标系下的位移为:

式中:为壳体旋转时,沿轴向、环向及径向的振幅系数。

    式(6)的物理意义是:当壳体绕中心轴以 ωN旋转,转过的角度时,从壳体上看节径数为m的振型曲线则以ω_c的转速沿ω_N的反向旋转,并转过ψ角,而在惯性空间来看,振型曲线以ω_N-ω_c向前移动,仅转过ψ₁-ψ角。考虑到旋转,此时的惯性力为:d F= d F₀+d F(ω_N),d F(ω_N)为 ωN引起的科氏惯性力:　d F(ω_N) =-2ω_N i×(v^t j+w^t k)ρ·dA

    在虚位移δ-V下,d F的虚功为:

此时弹性力做的虚功仍为δWc,由虚位移原理得:

    δT+δW₀=0              (8)

将式(4)代入到式(8),可得: