压力超过分叉荷载时中点屈曲位移的确定

　　压杆稳定问题是工程中常见问题.当压力小于分叉荷载时,由于外界扰动使杆件偏离初始平衡构形,外界扰动除去后,构件仍能回复到初始平衡构形,此时称为稳定的平衡构形;而压力大于分叉荷载时,外界干扰引起的偏离初始平衡构形的屈曲,当外界干扰消除后不可回复,称此时的平衡构形是不稳定的平衡构形.人们普遍认为:压杆失稳后,将完全丧失承载力,故人们常把某些工程事故归因于压杆失稳,如1907年的加拿大魁北克大桥垮塌事故等[1].

　　早在1774年法国著名数学家Leonhard Euler(1707—1783)就根据小变形假设推导出了用于确定分叉荷载的Euler公式[2].但这种基于小变形的近似方法由于采用了曲率的近似表达式而无法求得中点屈曲位移δ,甚至得出了δ值可以为任何值的错误结论.近年来,对细长压杆最大挠度的研究有了很大进展,得出了不少近似计算方法[3~6].本文则通过Maclaurin公式将曲率公式展开为级数,建立了压力与屈曲位移方程,并利用数值方法求解,具有准确度高、计算简便等特点.

　　1　方程的建立与求解

　　某两端铰支杆如图1.由微积分知曲率k与弯矩M(x)存在下列关系(对于杆,由于压缩变形和剪切变形与弯曲变形相比很小,故经常忽略它们).其中将(1+y′2)3/2用Maclaurin公式展开,并取前二项有

　　取一项与取二项误差见表1,可见取二项误差大大降低,可以满足准确度要求.

　　将式(1)代入微分方程得

　　由式(8)可以看出,p与δ存在一一对应关系,对于任一大于分叉荷载pcr的p值,存在惟一的δ值与之对应,这与直观相吻合.对于任一p即存在

　　理论上用此方程可以求出δ值,但是由于被积函数不是初等函数,只能用数值方法求解.笔者应用变步长梯形积分法编写了求解程序,误差达到0·001,成功解决了这一难题.计算过程如图2.

　　2　算　例

　　对于3号钢,σp=200MPa,E=210 GPa,λp=100,若d=18 mm,则当l>0·45 m且铰支时为细长杆,经计算,相同材质、相同截面的短粗杆承载力为53·438kN.各种不同l值的p-δ关系曲线见图3.用近似关系式

　　得到的结果也用黑点虚线表示于图3上,以便两者从宏观上相互比较.

　　为了深入研究本法与公式(10)的关系,本文取l=2m时用上述两种方法算出的不同p值对应的δ值进行比较.结果见表2.

　　根据大挠度理论,细长压杆压力p与最大挠度δ之间级数形式的精确分析式如下:

　　式(11)收敛很快.由表2知,无论用式(9)还是式(10)计算,当p=2 900 N时,δ均约是0·5,暂将其代入(11)以判断此级数的性质,则等号右端前四项依次是:1, 0·041 9, 0·003 9, 0·000 5,可见取前三项已满足准确度要求.设函数