复合材料层合矩形板非线性湿热振动

    0　引　言

    复合材料由于具有高强度比、高刚度比以及在纤维方向近于零的湿热膨胀系数等特性,被广泛应用于湿热等严厉的环境中。文献[1]认为湿度与温度结合会对聚合物基复合材料性能产生极为有害的影响,因此不均匀温度、湿度分布哪一个因素对湿热变形的影响最大是一个值得研究的问题,所以工程设计人员非常关注这些因素对工程结构元件的影响。本文在考虑湿热影响的基础上,建立了复合材料层合矩形板Karman大挠度动力方程,采用伽辽金原理研究了复合材料层合矩形板在湿热状态下的非线性振动并讨论分析了湿度、温度、长宽比对复合材料层合矩形板线性固有周期的影响。经实例计算分析,得到了湿热耦合对复合材料层合矩形板非线性振动影响虽然很大,但温度起重要作用,湿度的影响可忽略不计的结论。

    1　振动控制方程

    参阅文献[1-3]可以得到复合材料层合矩形板在湿热状态下的动力方程为:

抗扭刚度,E₁、E₂、μ₁、μ₂分别为x轴和y轴方向的弹性模量和泊松比,G为剪切弹性模量,ρ为密度,h为板厚,W为板的横振位移,为应力函数,M^m、M^T分别为湿矩、热矩,N^m、N^T分别为湿力、热力,P(x,,y,t)为均匀外载荷。

    设板的四边为不可移简支,可知其边界条件为:

复合材料层合矩形板的端部伸长表达式为:

式中,α1,α2为热膨胀系数,β1,β2为湿胀系数。由于温度、湿度沿厚度方向分布对结构影响最大[1],取热分布为抛物线型[6]、湿分布为线性[1]:

设复合材料层合板的横振位移及外载荷为:

把有关各式代入(2)式中可求得:

把有关各式再代入(1)式中,利用伽辽金原理得:

    2　湿热振动解的推导

    2.1固有湿热振动

    本文仅讨论α>0的情况。当复合材料层合矩形板做固有振动时即P0=0 ,可把(16)式化为;

(18)式中哈密顿量H可由初始条件给出。

    再利用(17)、(18)式即可以求得复合材料层合矩形板在湿热状态下的固有振动的解为:

式中,sn、cn、dn为Jacobi椭圆函数,K(k)为第一类完全椭圆积分,k为模数。

    2.2强迫振动

    当复合材料层合矩形板在外载荷作用下做强迫振动时,可把(16)式化为:

    3　实例计算及讨论

    为了讨论分析湿度、温度、长宽比等因素对复合材料层合矩形板非线性固有湿热振动周期的影响,以T300/5208、B(4)/5505板为例进行分析。取板的参数为: