结构大变形的质点动力学分析

　　传统有限元方法在解决结构大变形时是基于连续介质力学,是根据单元的变形协调和整体结构静力平衡进行问题求解的,但当结构受到不平衡外力或出现大的变形,如开裂、破坏,单元变形协调与整体结构静力平衡条件均不满足,求解结构位移时存在困难,而质点动力学方法则利用运动学定律,在解决结构大变形问题方面具有优越性[1]。

　　1 结构大变形的质点动力学分析方法

　　1.1 质点动力学有限元模型

　　以桁架为例(见图1),桁架由杆单元和节点组成,分别对应于质点动力学方法中的结构单元和质点,并假设桁架的质量集中在质点上,结构单元没有质量,但是对质点有力的作用,而杆单元对节点的拉伸作用,对应于结构单元对质点的内力作用。

　　以离散模型中的任一质点为例(见图2),质点在运动时受到与之相连的所有结构单元对它的内力作用和外荷载对它的外力作用,离散后的质点受到与之相连的结构单元在其x,y方向,以及z方向的弯矩作用,满足牛顿第二运动定律,由此建立质点动力学基本运动方程[2]:

　　其中,&dxA,&dyA分别为x,y方向的加速度;&HzA为角加速度;PxA,PyA分别为x,y方向的外力; QzA为外力弯矩;fxA,fyA分别为x,y方向的内力;mzA为内力弯矩。

　　1.2 求解思路及方法

　　1)质量计算。将结构单元的质量换成等效节点质量,集中在与之相连的质点上,结构单元的惯性矩也换成等效质点惯性矩。

　　2)外力计算。离散弯曲结构上的作用外力可分为两类:a.作用在质点上的集中力和弯矩;b.作用在弯曲结构单元上的外力,如均布外力或均布弯矩,用等效荷载转化为等效节点外力并作用在质点上。

　　3)内力计算。以任一结构单元为例,内力增量与位移增量的关系为:

　　其中,Δf2x为轴向内力增量;Δm1z,Δm2z分别为结构单元两端的弯矩增量;EA,IA,AA均为材料物理常数;$为轴向变形量;H1,H2分别为单元两端处的变形转角。

　　4)位移计算。利用中央差分推导位移递推公式,以x方向位移为例,位移的二次求导写成差分格式[3]:

　　其中,c₁,c₂均为与阻尼有关的系数。

　　2 结构大变形实例求解

　　质点动力学方法是通过对每一个质点的位移单独求解来得到整体结构的位移,从而避免了传统的有限元求解大型结构位移整体矩阵,大大简化了求解方法,与传统有限元利用静力学基本原理相比,所受限制条件更少,能有效解决结构大变形问题。下面以平面悬臂梁为例进行求解,工况一:平面悬臂梁受到随体荷载,初始时刻在端点处受到垂直于梁端的荷载,当梁发生变形时,荷载大小不变,方向始终与梁端保持垂直;工况二:平面悬臂梁受到端部弯矩荷载,弯矩荷载大小不变,方向不变,一直作用在悬臂端处。通过以上方法建立悬臂梁的质点运动方程并编程进行求解,即可求得梁的运动轨迹。