轴类零件应力集中系数的理论研究

    阶梯轴是轴类零件中的常见结构,其倒角处的应力集中是轴类零件疲劳失效的主要原因.从1951年始,国外不少学者先后利用光弹技术[1～3]和X射线衍射技术[4]等方法对此进行了实验研究,但均较少涉及该系数的理论探讨.另一方面,有限元法自1943年问世以来[5],在诸多工程领域得到广泛的应用,但迄今为止,尚不多见应用有限元法计算此系数的研究报道.因此,本文对此作一探讨.

    1　计算原理

    1.1　单元位移函数

    本文应用有限元软件SAP91进行理论计算.SAP91中,空间问题常采用四面体、五面体和六面体单元.考虑到阶梯轴倒角处的轮廓状况,本文采用任意六面体单元(图1).对于任意六面体单元直接写出其位移函数并非易事,为此,借助下列坐标变换关系[6]将其转换成在局部(自然)坐标系ξ,η,ζ下的正方体单元(图2):

式(1)中,xi,yi,zi为单元8个节点在整体坐标x,y,z下的坐标值;Ni为用自然坐标ξ,η,ζ表示的形函数:

式(3)中,β= [β1　β2　…　β24]T为24个广义坐标,其值可通过已知的8个节点的坐标及位移来求得.将求解所得的诸β值代回式(3),最后可得用形函数表述的单元位移函数:

    1.2　非协调单元的引入

    由式(1)和式(4)易知,8节点六面体单元是等参单元.等参单元具有良好的适应性和表达格式的简明性,因而得到了广泛应用.但严格来讲,其精度和效率是不够高的.这是因为线性六面体单元的位移函数所包含的完全多项式只有1次(见式(3)),即8节点中有一半节点对计算精度是不起作用的.为了改善三维线性单元的性质,提高其计算精度,有研究者提出[7],在单元位移函数中附加内部无节点位移项a1(1 -ξ2),a2(1 -η2),a3(1 -ζ2).可以看出,通过引入ξ2,η2,ζ2项,使位移函数中的二次项趋于完全;同时,附加项在8个节点上均取零值,即它们对节点位移没有影响,只对单元内部的位移起调整作用.

    包含附加的无节点位移项的单元位移函数为

式(5)中,Ni为无附加项时的形函数,见式(2);a1,a2,…,a9为内部自由度;N-1,N-2,N-3为附加项所对应的形函数:

    N-₁= 1 -ξ²,N-₂= 1 -η²,N_-3= 1 -ζ².

    需要指出,引入非协调项后,同时应对单元刚度矩阵作相应修改[7],然后再组装整体刚度矩阵,最后形成系统的平衡方程组.这与有限元分析的常规方法无异,在此不再赘述.

    2　计算过程

    2.1　构建模型