均布荷载作用下弯矩极值的确定

　　一、问题的提出

　　对结构作内力计算时,常采用分段叠加法绘制结构中任意直杆段的弯矩图。以图(a)所示结构为例,要作结构中直杆段AB的弯矩图,可截取AB段为隔离体,如图(b)所示,隔离体上除作用有q外,在杆端还作用有弯矩MA、MB,剪力QA、QB以及轴力NA、NB。将图(b)所示隔离体与图(c)所示简支梁比较,由平衡条件可知RA=QA,RB=QB,所以直杆段AB的弯矩图必与图(c)所示简支梁弯矩图完全相同。据此,用叠加法作出直杆段AB的弯矩图,如图(d)所示。

　　这里要提出的问题是,直杆段AB在均布荷载作用下,其弯矩图是二次曲线,相应的弯矩函数在直杆段AB上有极值吗?为了判断在直杆段AB上有无弯矩极值,通常的做法是先绘出直杆段AB的剪力图,确定是否存在剪力为零的截面,若存在剪力为零的截面,再计算出该截面的位置坐标,并计算出该截面的弯矩值,此弯矩值即为弯矩极值。本文将给出一种方法,不用借助剪力图,仅依据杆端弯矩MA、MB,均布荷载q,杆长L,即可回答下列问题:

　　1、在均布荷载作用下,直杆段AB上能否产生弯矩极值?即产生弯矩极值的条件是什么?

　　2、如果在直杆段AB上有弯矩极值产生,产生弯矩极值的截面位置怎样迅速地确定?

　　3、在直杆段AB上有弯矩极值产生时,如何方便地算出弯矩极值?

　　二、问题的解答

　　为了对上述问题做出解答,首先建立如图(e)所示的平面直角坐标系,相应于直杆段AB的简支梁轴线重合于区间,规定使梁下部受拉的弯矩为正弯矩,并规定q的指向与y轴正向一致时,q>0.

　　单由MA及MB产生的直线弯矩图如图(f)所示,该直线弯矩图对应的弯矩函数为

　　单由均布荷载q产生的抛物线弯矩图如图(g)所示,该抛物线弯矩图对应的弯矩函数为

　　M2(x)=

　　将图(f)与图(g)所示弯矩图叠加,如图(d)所示,叠加后的弯矩图对应的弯矩函数为

　　其中恰好是直杆段AB的跨中弯矩。

　　弯矩函数M(x)是实数区间(-∞,+∞)上的可导函数,当且仅当-12≤x≤12时,表示直杆段AB上任意截面处的弯矩。为寻求弯矩函数在直杆段AB上产生极值的条件,可对(3)式求导,得

　　因为M(x)在x0的二阶导数M″(x0)=-q≠0,所以x0是弯矩函数的极值点,且x0∈(-∞,+∞).

　　如果弯矩函数在直杆段AB上产生极值,则极值点x0必落入区间;反之,若极值点x0落入区间,则弯矩函数M(x)必在直杆段AB上产生极值,即弯矩函数M(x)在直杆段AB上产生极值,等价于

　　这正是在均布荷载作用下直杆段AB上能产生弯矩极值的充分与必要条件,且当此条件满足时,x0=就是产生弯矩极值的截面位置坐标,将(4)式代入(3)式,得弯矩函数在直杆段AB上的极值