几何非线性协调矩形板单元

    1　引　言

　　板壳结构由于具有受力合理、重量轻及用量省等方面的优点,在机械、航空、航天、造船及结构工程中得到广泛的应用,而板壳结构的一个显著特点就是在受力后不可避免地呈现大挠度现象,所以近几十年来板壳结构的几何非线性分析问题一直是力学及工程结构界所研究的焦点问题之一。对于弹性薄板的几何非线性问题,以Kirchhoff理论为基础发展起来的板壳有限元,在构造薄板挠度位移的单元插值函数时,不仅必须对挠度规定单元间的连续性条件,而且必须对它的导数规定这种条件,要求导数在各单元间的交界处连续性,使得形函数构造困难,一直没较好的解决此问题。

    在薄板的有限元分析中,采用非协调薄板单元分析许多实际问题获得较好的结果,但是收敛性是以通过分片试验为条件的,使用范围受到限制。此外,即使收敛也并非单调的,不能对解的上界和下界做出估计。因此在板壳有限元分析中,特别在早期,协调板单元的研究受到相当的重视。

    在位移法中,要满足C1阶连续性,一种方法是增加节点自由度,即将w的高阶导数作为自由度;另一种方法是在单元边界或单元内部增加节点自由度。前者在实际应用时涉及高阶导数自由度的边界条件难以处理,同时高阶导数自由度在节点的连续性与实际结构情况可能出现矛盾。后一种方法构造的协调单元,有些收敛尚快,有些则较差,而且自由度较多,计算列式烦冗,计算工作量大。

    为了克服上述难点,很多学者提出了一系列板单元,如Zienkiewicz, Hughes等学者[1]提出的位移元, Spilker等人的应力杂交元等,这些单元都得到了广泛应用。近年来,孙建恒,龙驭球教授[2]从广义协调元理论出发,提出了一种低阶几何非线性广义协调单元,具有简便实用的优点,但这类单元并不具有完备性和真正的C1阶连续性。钟万勰教授提出了对弯曲函数进行插值的杂交元[3],但其构造过程复杂,不能得出形函数的常规表达式,不便于实际应用。

    本文将完备协调矩形单元的弯曲位移模式引入弹性薄板的大挠度分析中,在T·L·坐标系下推导了它们的单元切线刚度矩阵,并利用NewtonRaphson法对固支及简支方板进行了数值分析。数值算例表明,这两种单元在板的大挠度分析中,具有列式简单、易于实施、精度高及收敛快的优点。

    2　几何非线性协调矩形薄板单元

　　由虚功原理得非线性问题的一般平衡方程为

　　由于所分析的材料为弹性的,故弹性矩阵[D]由平面应力弹性矩阵及弯曲弹性矩阵两部分组成,即

　　为了方便,将单元的节点位移及形函数也分别对应于平面应力及弯曲两部分。