材料非线性有限条法在平面壳条弹塑性分析中的应用

　　0　引言

　　平面壳条弹塑性分析属于非线性问题,与线性分析不同,在非线性分析中很难找到一种适合各类非线性问题的解法,用得不好可能收敛很慢甚至发散,常用的方法有牛顿-拉斐逊迭代法、修正牛顿-拉斐逊迭代法以及增量法[1]等。迄今为止,有限条法[2]已成功地应用于结构的弹塑性分析,应用虚功原理[3],一个处于平衡的物体当施加满足位移边界条件的连续虚位移时,其外力虚功等于物体在虚应变上产生的变形能,可以推导出构件的切向弹塑性模量[DT]和切向刚度模量[KT],以备平面壳条弹塑性分析中使用。

　　1　平面壳条弹塑性分析

　　为了考察平面壳条塑性变形时的非线性特性,得到其极限负载值,需要对平面壳条进行塑性分析。假设平面壳条由有限条来模拟[4～6],沿平板厚度方向,运用分层平面壳条分析,第m段壳条的位移函数参数为

　　壳条的位移参数为

  （1）

式中r——分段数

　　b——壳条宽度,X=x/b

　　Ym——梁的特征函数

　　若壳条两端简支,Ym(y)=sinLmy,Lm=mP/L,L是壳条长度。

　　在垂直于平板的z轴方向上,平面壳条可分成等厚的若干层,一般2～20层为宜,每一层上的应力{R}和应变{E}在z轴方向上可视为常量。

　　由薄板(壳)理论[7],任一层壳条的任意一点处的应变为

  （2）

　　为了计算切向刚度模量[KT]和维持结构平衡的外力{R},需在整个壳条上积分,采用x,y轴方向上高斯积分,z轴方向上代数相加方法来处理。

　　切向刚度模量[8]为

 (3)

　　由虚功原理,维持结构平衡的外力为

  (4)

式中nl——沿厚度方向的分层数

　　由牛顿-拉斐逊迭代法[1],应变增量和应力增量分别为

　　弹塑性模量[DT]的计算式为

  (5)

　　从而得应力

　　这里[D]p由屈服点处的应力{R}k1形成,则应力修改为

　　由式(6)、(7)知,应力总可表示为

　　其中

　　将式(5)代入式(3),得

式中K——弹性刚度模量

　　Kp——塑性刚度模量

　　外力{R}的微分与位移{D}的微分关系为

　　由式(4)、(8)、(9)推出维持结构平衡的外力与位移之间关系为

　　以上平面壳条塑性分析中的坐标变换同弹性分析中的坐标变换[3]。

　　2　程序及算例

　　一两端简支箱型梁承受均布荷载P,横断面尺寸如图1所示。梁长6.0 m,弹模E=2.1×10⁵MPa,v=0.0,Rs=240 MPa,应变硬化参数H′=0。由编制的程序,算得该简支箱梁在若干均布荷载作用下的位移值,如表1所列,并绘出荷载—位移曲线,见图2中的曲线2。另外采用梁理论法算出的位移值,也列于表1中,荷载—位移曲线,见图2中的曲线1。