材料非线性有限条法在平面壳条弹塑性分析中的应用
0 引言
平面壳条弹塑性分析属于非线性问题,与线性分析不同,在非线性分析中很难找到一种适合各类非线性问题的解法,用得不好可能收敛很慢甚至发散,常用的方法有牛顿-拉斐逊迭代法、修正牛顿-拉斐逊迭代法以及增量法[1]等。迄今为止,有限条法[2]已成功地应用于结构的弹塑性分析,应用虚功原理[3],一个处于平衡的物体当施加满足位移边界条件的连续虚位移时,其外力虚功等于物体在虚应变上产生的变形能,可以推导出构件的切向弹塑性模量[DT]和切向刚度模量[KT],以备平面壳条弹塑性分析中使用。
1 平面壳条弹塑性分析
为了考察平面壳条塑性变形时的非线性特性,得到其极限负载值,需要对平面壳条进行塑性分析。假设平面壳条由有限条来模拟[4~6],沿平板厚度方向,运用分层平面壳条分析,第m段壳条的位移函数参数为
壳条的位移参数为
(1)
式中r——分段数
b——壳条宽度,X=x/b
Ym——梁的特征函数
若壳条两端简支,Ym(y)=sinLmy,Lm=mP/L,L是壳条长度。
在垂直于平板的z轴方向上,平面壳条可分成等厚的若干层,一般2~20层为宜,每一层上的应力{R}和应变{E}在z轴方向上可视为常量。
由薄板(壳)理论[7],任一层壳条的任意一点处的应变为
(2)
为了计算切向刚度模量[KT]和维持结构平衡的外力{R},需在整个壳条上积分,采用x,y轴方向上高斯积分,z轴方向上代数相加方法来处理。
切向刚度模量[8]为
(3)
由虚功原理,维持结构平衡的外力为
(4)
式中nl——沿厚度方向的分层数
由牛顿-拉斐逊迭代法[1],应变增量和应力增量分别为
弹塑性模量[DT]的计算式为
(5)
从而得应力
这里[D]p由屈服点处的应力{R}k1形成,则应力修改为
由式(6)、(7)知,应力总可表示为
其中
将式(5)代入式(3),得
式中K——弹性刚度模量
Kp——塑性刚度模量
外力{R}的微分与位移{D}的微分关系为
由式(4)、(8)、(9)推出维持结构平衡的外力与位移之间关系为
以上平面壳条塑性分析中的坐标变换同弹性分析中的坐标变换[3]。
2 程序及算例
一两端简支箱型梁承受均布荷载P,横断面尺寸如图1所示。梁长6.0 m,弹模E=2.1×105MPa,v=0.0,Rs=240 MPa,应变硬化参数H′=0。由编制的程序,算得该简支箱梁在若干均布荷载作用下的位移值,如表1所列,并绘出荷载—位移曲线,见图2中的曲线2。另外采用梁理论法算出的位移值,也列于表1中,荷载—位移曲线,见图2中的曲线1。
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