轴向运动小垂度索动力响应

    索的响应计算在索动力分析中十分重要。其方法主要有模态分析法[1]、Green函数法[2]、摄动分析法[3]等。但这些方法用于运动索时,物理概念不明确,难以用于振动主动波动控制器的设计。

    本文中从波传播概念出发,得到了一般边界条件下运动索的精确解。给出了解的波传播概念解释。数值仿真说明了索的垂度对其响应与波传播的影响。

    1　基本方程

　　Perkins[3]将横截面为A,长L,密度为ρ,水平张力为P的索简化为无弯曲与扭转刚度的一维连续体。沿平衡构形的弧长坐标为s,沿切向e₁、法向e₂及副法向e₃的位移分量为u₁(s,t),u₂(s,t)和u₃(s,t),外激励为F₁(s,t),F₂(s,t)和F₃(s,t)。在小垂度假设下,运动方程为[3]

式中:为速度;κ为平衡曲率;E为材料弹性模量。

    面外运动(1c)与面内运动(1a)及(1b)不耦合,化为轴向运动弦模型,文献[4]已给出结果。同时面内横向振动频率远高于轴向振动频率,可不计其影响。

    引入无量纲变量

其中M和N为线性边界微分算子。当轴向运动速度超过临界速度时,即c≥ccr=1时,系统处于不稳定状态[4]。本文中仅研究c<1的情形。

    2　轴向运动索的响应

    2.1　Green函数和边界影响函数

　　对方程(2)~方程(4)拉氏变换得

其中:γ为拉氏变换参数,通常为复数;-u(.,γ), f-(.,γ)和-γ_Bj(γ)分别为u(.,γ),f(.,γ)和γ_Bj(γ)的拉氏变换;-γ_lj(γ)为反映边界s=0,1处初始条件多项式,并且用j=0,1分别表左右边界。-M和-N分别为算子M和N微分。

    方程(6)特征根λ1和λ2为γ的函数,表示向左、右传播波的复波数。其特征向量为vi(γ),记λ-k=-λk,v-k=-vk(λk,vk的共轭复数),则扰动系统的Green函数为[2]

其物理意义为零初值及齐次边界下,扰动阻尼系统(5)的脉冲响应。

    用g^ (s,ξ,γ)表示g(s,ξ,γ)的拉氏变换,￡^-1表示拉氏逆变换,则边界影响函数为

    2.2　响应解

　　由叠加原理响应-u(s,γ)为

其中:-。可见,响应由初始扰动、外激励扰动及边界扰动叠加而成。

    3　响应的波传播解释

　　考虑两端固支轴向运动索,定义如下传播函数和边界影响函数

　　传播函数G表外激励和初始扰动,传播函数H表边界扰动。定义波在激励作用处右边运动为顺流动,左边为逆流动。分别用下标c和cc表示,上标“+”和“-”表示波向右和向左传播;下标0和1分别表示左边界s=0和右边界s=1。面内横向响应为