同心旋转圆柱间粘弹性流的非线性动力学模型

　　随着旋转机械转速的提高以及低粘度润滑剂的使用,导致滑动轴承中油膜处于层流向湍流转变的过渡区,使轴承的工作环境恶化.研究润滑剂特性对轴承工作性能的影响已成为润滑研究中的重要问题之一[1].Toms[2]发现,加入牛顿流体中的少量高分子聚合物具有推迟湍流发生和减小阻力的作用,即所谓的Toms效应.Giesekus[3]发现,聚合物添加剂对流体层流失稳的推迟或加速作用同其在溶液中的浓度密切相关.聚合物稀溶液能推迟流体的失稳,但聚合物浓度较大时,由于弹性效应占主导地位,反而会降低流体的稳定性.聚合物稀溶液是一种介于强弹性流体及牛顿流体之间的弱弹性流.由于粘弹性效应的影响,流体的本构方程中产生了非线性项.本文作者采用类似于Khayat[4]推导四维动力系统的方法,建立了小间隙下Oldroyd-B型流体在同心旋转圆柱间运动的六维动力系统,以探讨高分子添加剂对轴承间油膜稳定性的影响.

　　1　小间隙下的控制方程

　　1.1　动量方程和连续方程

　　考察密度为ρ、粘度为μ的不可压缩粘弹性流体.流体在同心旋转圆柱间流动,其中内筒以角速度Ω旋转,外筒静止,内外筒半径分别为Ri和Ro,则连续方程和动量方程为:

式中是梯度因子,t是时间,U是速度向量,∑为应力张量.将∑表达为牛顿(粘性)部分和弹性部分的组合:

式中:ρ为流体静压力为应变率张量,T为应力张量中的弹性部分,I为单位张量.为了分析流体的粘弹效应,必须选择一合适的本构方程,以得到T的表达式.

　　1.2　本构方程

　　我们选取较简单的Oldroyd-B型本构方程:

式中:λ₁和λ₂分别为松弛时间和阻滞时间,定义为:

　　1.3　边界条件

　　考虑轴对称流,在柱坐标下,u,v,w分别表示径向R、周向θ以及轴向Z的速度分量.采用如下所示的混合边界条件:

　　轴向采用自由滑移边界条件主要是为了简化计算,但由于忽略了轴向阻力的影响,使计算的流体失稳临界值降低,而中性稳定曲线与其他条件下得到的一致.

　　1.4　无量纲化

　　对控制方程进行无量纲化时,长度和时间的度量单位分别为d=Ro-Ri和d²/v,其中v为运动粘度,同时定义无量纲常数:雷诺数Re=RiΩd/v,间隙比ψ=d/Ri,Taylor数;分别用E和Rv表示流体的弹性系数和Oldroyd-B流体的阻滞系数,其中分别为溶剂和聚合物添加剂的粘度,设，则添加剂与溶液的粘度比。

　　在将流场展开时,需要得到一个稳态解做为基流的求解结果.在小间隙且假设7→0时,经推导可以得到:

　　在基流附近将流场展开如下: