变厚度圆板弯曲问题的差分解法

　　变厚度圆板是工程实际中广泛应用的一类构件。根据弹性理论,变厚度圆板的轴对称弯曲问题可以归解为求解变系数的二阶常微分方程,然而得到其解析解只有在某些特殊情况下才是可能的,并且即使简单载荷作用,其求解过程也是复杂的。因此寻求一种简单可靠的数值计算方法便很有实用意义。

　　1　变厚度圆板轴对称弯曲的基本方程^[1]

　　轴对称变厚度薄板在轴对称载荷作用下,其控制方程是:

　　当厚度的变化规律为t=t0(1-r/b)图1(b)时,若引入无量纲量ρ=r/b,则方程(1)变为:

　　关于圆形薄板的边界条件,以半径a的边界为例,若其为固定边界,则边界条件是:

　　因为圆板的轴对称弯曲扭矩为零,所以这里的剪力并不是等效剪力。

　　2　微分方程边值问题的差分解法^[2]

　　对于二阶变系数线性微分方程

　　若将积分区间(a,b)划分为n等分,步长h=(b-a)/N;节点Xn=X0+nh,n=0,1…,N。分别用中心差商和二阶差商逼近一阶导数和二阶导数,即:

　　3　算　例

　　3.1　内边界自由、外边界固定,厚度t=cr,b≤r≤a,a=2.0 m,b=1.0 m的环形板在均布载荷q作用下的弯曲问题,如图1(a)所示。

　　取n=20,当μ=1/3时的差分数值解与解析解如表1。

　　由表1可见,该方法具有很高的精度。

　　3.2　外边界固定,厚度t=t0(1-r/b),r≤a,a=1.0 m,b=2.0 m的圆板在均布载荷作用下的弯曲问题,如图1(b)所示。

　　取n=20,当μ=0.25时的计算结果如图2。

　　参　考　文　献

　　[1]徐芝纶.弹性力学(第二版)[M].北京:人民教育出版社,1982.

　　[2]李庆扬编.数值分析[M].武汉:华中理工大学出版社,1982.

　　[3] E.长姆克著.常微分方程手册[M].张鸿林译.北京:科学出版社,1977.

　　工作单位:河北科技大学机械电子工程学院

　　作者简介:李欣业,男,1966年生,天津大学力学系博士生。