含两类内变量的一种非线性粘弹性本构模型

　　基于不可逆热力学理论的粘弹性材料本构关系的研究始于Biot[1],他以内变量描述粘性耗散,导出了线性粘弹性材料的本构模型. Rice[2], Valanis[3]分别将这一方法推广到塑性理论和大变形粘弹性理论的研究中.最近,邓伟、杨挺青采用内变量理论通过引入耗散势给出了一种新的线性粘弹性本构方程[4].和Biot的研究不同,本文针对粘弹性材料在变形过程中不仅存在着粘性耗散而且存在着损伤耗散的特点,引入了两类服从不同的演化规律的内变量,一类是描述材料自身阻尼所产生的粘性耗散的内变量qα,另一类是描述材料内部微损伤演化所引起的损伤耗散的内变量η,前者服从On-sager原理,而后者不服从Onsager原理,它应由细观力学中关于微损伤的演化规律所确定.通过将自由能密度函数表示成应变的一般非线性形式和粘性耗散内变量及损伤耗散内变量的二次齐次式导出了两类耗散内变量之间的关系.在此基础上提出了一个新的非线性粘弹性材料的本构模型.

　　1　非线性粘弹性材料的Helmholtz自由能的一般形式

　　选取外变量为应变ε,温度,其对偶变量分别为应力σ和熵s;内变量为粘性耗散内变量qα(α=1,2,…,n)和损伤耗散内变量η,其对偶变量分别为粘性对偶力Nα和损伤对偶力Y.如果粘性耗散内变量qα取为α相粘性应变,则ε和qα均为二阶对称张量,而损伤耗散内变量η也可以表示为二阶对称张量[5]. Helmholtz自由能密度函数可表示为:

　　由能量守恒和热力学第二定律Clausius-Duhem不等式得到本构关系^[5]:

　　与内变量相对应的对偶变量定义为:

　　如果加载过程足够缓慢以至于系统的热力学过程可看成是等温过程,则自由能密度函数中不显含温度.现将自由能密度函数展开成变量的幂级数,略去其常数项(常数项可以和参考状态Ψ0合并)和一次项(初始时在无应变、无粘性耗散和损伤耗散的情况下应力为零),对于耗散相略去三阶及其以上的高阶小量,自由能密度函数可写成如下形式:

　　式中Cα,Dα,E,F和Gα为四阶系数张量,Ψ1(ε)是ε的一般非线性函数,在无耗散的情况下它是材料的本构势.

　　显然,(3)式所给出的Ψ是描述线性粘性非线性弹性材料的自由能密度函数.如果不考虑粘性耗散和损伤耗散,对于强化材料,由于其本构关系可以表示为^[6]:

　　式中s为应力偏量,e为应变偏量,ε-= 23e:e为等效应变,K和μ分别为材料的体积模量和剪切模量为ε-的非线性函数,如果材料几乎不可压,根据塑性力学全量理论的单一曲线假定,ω(ε-)可通过单向拉伸实验确定.