两对边固定两对边自由矩形板的精确解

　　1　引言

　　弹性板在工程中的大量应用,尤其是矩形薄板更为普遍,其中两对边固定两对边自由矩形板广泛应用于地下建筑工程、水利工程中,如地下连续挡土墙、水闸闸门在特定情况下是最典型的两对边固定两对边自由矩形板。众所周知,寻求矩形板的精确解在一般条件下是相当困难的。因此,历史上存在着一些著名的难题。文献[1]中,S.Timoshenko给出了一些边界条件下,矩形板的级数形式精确解。80年代以来张福范等利用叠加方法给出了矩形悬臂板及弹性地基上四边自由矩形板等著名难题的精确解[2]。作者在文献[3]中,给出了矩形悬臂板的精确解。文献[4]是在Hamilton体系中,基于辛正交关系推出了非对边简支条件下矩形弹性薄板的级数解,但是不包含自由边界条件,对许多具有复杂边界条件的问题无法处理。文献[5]亦给出了矩形板的精确解。因此本文的研究有重要的理论意义和工程应用价值。

　　2　基本微分方程和边界条件

　　设矩形板边长为a和b,边界条件为两对边固定两对边自由,受横向载荷q(x,y)作用,计算简图见图1。

　　基本控制微分方程:

　　式中板抗弯刚度其中E,M分别为板的弹性模量及泊松比,h为板的厚度。

　　在给定边界条件下的基本微分方程的解

　　其中A_m,B_m,C_m,D_m,E_n,F_n,G_n,H_n为待定系数;,3,5,…。特解w*(x,y)主要与荷载形式有关,除可以采用上述级数形式外还可以采用多项式,级数形式具有普遍的适用性,而任意荷载对应的多项式形式w*(x,y)很难找到,而特殊荷载多项式形式w*(x,y)是可以找到的,如:

　　均布荷载q0作用下的w*(x,y)可取为

　　1)将(10)式代入边界条件(2)可得

　　2)将(10)式代入边界条件(4)可得

　　3)由边界条件(6)可得

　　4)由边界条件(9)可得

　　5)由边界条件(3)式并利用式(13),(14),(17),(18)代入可得

　　6)由边界条件(5)并利用式(13),(14),(17),(18)可得

　　7)由边界条件(7)并利用式(13),(14),(17),(18)可得

　　8)由边界条件(8)并利用式(13),(14),(17),(18)可得

　　当在挠度函数(10)中取第一个级数和第二个级数的项数都为N项时,联立方程组(19)、(20)、(21)、(22)可得4N阶线性方程组,从而解得4N个待定系数Am、Cm、Gn、Hn,将待定系数Am、Cm、Gn、Hn值代入方程组(14)、(17)、(18)中可得其他待定系数En、Bm、Dm,至此得到挠度函数(10)中的全部待定系数值,这样就可以得到板中各点的挠度值,进而可求得各内力值。