分析输液曲管临界流速的迁移矩阵法

　　1 引言

　　输液曲管是一种重要的工程结构,常用于核电、石油、化工、海洋以及机械工程等部门,但是它不同于输液直管,分析难度大.对它的研究近几年才开始,Aithal R等[1]在1993年用解析法对单跨圆形输液曲管进行了分析,Misra AK等[2]曾用有限元法对复杂形状的输液曲管的临界流速进行了计算.本文推广常规初参数法的思路,首先推导出单跨圆形输液曲管两端的无量纲位移、内力向量{D}和{D0}之间的关系;对于多跨输液曲管,利用本构关系以及节点处的内力平衡和位移连续条件,逐段建立输液曲管两端的位移、内力向量{q}k和{q}k-1之间的关系,再利用端部给定的约束和失稳发生时存在分叉解的条件,得到输液曲管问题的特征方程,解此方程即可求得输液曲管的临界流速.与文[1]的方法相比,本文的方法易于处理带任意多个中间弹性支承和变刚度、变曲率的输液曲管问题,而后者只能分析单跨等截面圆形输液曲管;如果和有限元法比较,有限元法虽然能方便地求解复杂外形和各类支承情况的输液曲管,但随着离散单元的增多,计算费用不断升高.而迁移矩阵法由于对各段位移、内力的关系导出了一系列显式,故不管离散段数有多少,最终都只需解一个三阶矩阵方程,因此不仅计算工作量减少,而且精度高.

　　2 输液曲管的控制方程及边界条件

　　根据文献[1],在不考虑内、外阻尼的影响下,对于中心线不可伸缩的面内振动,输液圆形曲管的控制方程(无量纲形式)为

　　为无量纲量,分别表示无量纲的切向位移、质量比、流速和时间;w为曲管中心线上任一点的切向位移,R为曲管半径,EI为曲管刚度系数,V为流速,mt和Mf分别为曲管和流体单位长度的质量,为曲管中心线上任一点的坐标(见图1),t为时间.

　　根据图1所示的坐标系及弹性曲梁理论,可知有如下几何关系及本构关系:

式中,u、ε和V分别为曲管中心线上任一点的径向位移、轴向应变和曲率;N、M和Q分别为该点的轴力、弯矩和剪力;A为曲管的横截面积.边界条件是

　　3 迁移矩阵法

　　对于输液曲管的自激振动,方程(1)解的形式可写成

其中为待求的振幅函数,S为时间的无量纲量,8表示输液曲管的无量纲振动频率

　　ω为实际振动频率,一般为复数.把(6)式代入方程(1)得

方程(8)是一个六阶齐次常微分方程,显然5S0是其中的一个平凡解,但它没有什么意义.

　　下面将要讨论在B值给定的情况下,流速参数v取何值时方程(8)有非零解.非零解的性质与输液曲管的稳定性有密切关系.

　　推广常规初参数法的思路,方程(8)解可写成下列一般形式