非线性大挠度圆柱壳的混沌运动

　　工程实际问题中动力系统的许多参数往往会发生一些微小的变化,而这些微小的变化常常会引起系统的拓扑结构发生本质的差异(分叉和混沌等),即非线性系统中的动力过程可能由于初始条件的微小扰动而发生巨大的变化,也就是说系统的运动表现出某种随机性,这进一步提示我们,工程实际问题中传统的设计方法面临着巨大的挑战,因此开展非线性系统中的分叉和混沌运动的研究并建立结构的动态失效准则无疑具有特别重要的理论意义和广泛的工程应用前景,否则工程实际问题中传统的设计方法(强度、刚度和稳定性)以及相应的实验研究和数值分析将变得毫无意义.

　　分叉和混沌运动的研究已经成为固体力学领域的前沿课题,具有极大的难度和复杂性,目前这一工作刚刚起步,研究工作主要集中于杆的受迫振动或模型分析[1~5],而对板、壳、拱的分叉和混沌则极少涉及[6,7],在文献[7]中我们分析了圆柱壳后屈曲状态下的混沌运动,作为这一工作的继续,本文揭示了在前屈曲状态下圆柱壳中同样存在着发生混沌运动的可能.

　　1 基本方程

　　设一长为L的弹性圆柱壳,直径2R,厚为h,两端铰支,在径向承受随时间周期性变化的均布载荷q.则

　　由Reissner广义变分原理,可得壳体动力方程为:

　　且壳体中单位长度的内力、内力矩分别为:

 (3)

　　上述方程基于这样的前提,即在向压力作用下壳体首先发生的是轴对称变形,因此,所有变量都将只是轴向坐标x和时间变量t的函数,同时,方程中u(x,t)、W(x,t)、U(x,t)分别为壳中面的轴向位移、径向位移和法线转角, Nx、NH、Qx、Mx分别为单位长度的正压力、剪力和弯矩, E、G、L是弹性模量、剪切模量和Poisson比, K为折减系数,D为阻尼系数,假设Kirchhoff成立:

　　此时,方程(3)第2式化为:

　　为引入非线性项,考虑方程(3)第1式可化为:

　　对两端铰支圆柱壳,轴向边界条件为:

　　显然由式(23)给定的位移模式满足边界条件(22)式,将其代入(21)式积分并整理有:

　　我们将仅在K1>0的条件下讨论非线性动力方程(25)的混沌问题(关于K1的取值和K1<0时的情形,可参考文献[7]),K1>0意味着壳体处于前屈曲的运动状态。

　　2 数值分析

　　无扰动动力系统有三个不动点,它们分别为:

　　图1,图2中各曲线均计算了3000个点,其初始条件为T(0)=T(0)=0.01,由此我们不难看出图1对应着一定常运动,图2则为一混沌运动,其时程曲线十分紊乱,毫无规律可言,这表明在前屈曲状态下圆柱壳中存在着发生混沌运动的可能,因此在工程实际问题中除了传统的设计方法(强度、刚度和稳定性)之外,我们必须对结构进行混沌运动的分析,否则相应的实验研究和数值分析是毫无意义的.