主动约束层对梁的频率和损失因子的影响

　　近年来,主动阻尼控制已引起人们的广泛注意和研究。目前,常用的方法是主动约束阻尼方法,即用压电类智能材料作为约束层(如图1),利用压电材料的机电耦合效应,达到改变阻尼层剪切变形,改变其能耗的作用。这种主动约束层控制不但具有被动约束简单可靠的优点,又具有随环境变化能自适应控制的优点。可以使系统在较宽频带上获得阻尼特性。目前,国外在这方面的研究很活跃,Baz(1993),Shen(1994)分别基于Mead和Markus(1969)以及Ditaranto(1965)的剪切模型,导出了含主动约束层Euler-Bernoulli梁的运动微分方程,并分析了系统的可控性、可观性和稳定性等问题,最近,Baz(1997),Shen(1997)又分别用变分方法导出了梁结构的控制微分方程,提出了边界控制策略,对主动约束机理做了研究,另外,还有许多学者如,Azvine(1995),Vasundara等(1996),用有限元方法对主动阻尼层结构进行了研究。

　　在人们设计主动约束层阻尼控制结构时,首先就要知道结构各阶振动频率和损失因子;由于机电耦合效应,压电层有正逆向压电效应,因此,压电层的正逆向压电效应对结构各阶振动频率和损失因子的影响也应加以分析。另外,在上面提到的文章中,对压电层内电势沿厚度方向的分布,一般都做了线性化处理,但在实际中电势的分布并不是按线性分布的。本文由Hamilton原理导出了主动约束层阻尼梁结构的机电控制方程;给出了简支边界条件下,压电层在正、逆向压电效应两种情况下,电势沿压电层厚度方向的实际分布,选用了剪切模量和损失因子与频率有关的粘弹材料,计算了两种情况下,结构的自然频率和损失因子,分析了正逆向压电效应对自然频率和损失因子的影响。

　　1　基本方程

　　本文研究的主动约束层阻尼结构如图1所示,在分析中作如下假设:压电层和基体都可看作Euler-Bernoulli梁;粘弹层只有剪切变形,粘弹材料特性可用复剪切模量G*2=G2(1+iη2)表示,η2是粘弹材料的损失因子;各层之间理想粘结,无相对滑动。由粘弹层与基体、压电层界面之间的位移连续条件可得γ2,u1,u3之间有关系如下

　　式中　D是电位移,e31,∈分别是压电常数和介电常数;Y1是压电弹模;Φ是电势。压电层能量包括压电应变能和电场能两部分,压电应变能

　　基体层应变能

　　其中　ρ是梁的单位长度质量,A1,A2,A3分别是各层的横截面积,I1,I3是截面惯性矩,Y1,Y3分别是压电和基体的弹模。代入Hamilton原理

　　得机电控制方程和边界条件。机电控制方程为

　　2　运动方程的解

　　设梁是简支的,方程(9)满足简支边界条件的解是

　　则通解为