基于微分求积法的三维非恒定、不可压N-S方程的数值计算模型

　　0引言

　　近年来,对于紊流的直接数值模拟(DNS)的研究日益受到重视.由于DNS针对包括从积分尺度到耗散尺度在内的全部尺度范围的涡进行模拟,这就要求数值计算方法具有相当高的精度和分辨率.DNS常用的方法有谱方法、谱元法、高精度有限差分法、样条函数法.由于高精度差分法具有格式简单,计算量小,边界条件处理灵活等优点, 20世纪90年代以来,高精度差分方法被应用于DNS中,如Rai等的高精度差分格式[1],Lele的不限于三点的紧致有限差分格式[2],付德薰、马延文的迎风紧致格式[3]等.因此,发展高精度、高分辨率的有限差分格式及其它高精度的格式是提高流动计算精确度必须研究的课题.

　　微分求积法(The differential quadraturemethod,简称DQ法)是由Bellman[4]提出的.DQ法是一种等价于最高精度的有限差分方法[5].DQ法的思想是:把网格点上导数的离散形式表示成为求解区域中该导数自变量坐标方向上所有节上函数值的一种加权线性叠加.与其它方法相比,DQ法的主要优点是可以用较少的结点数获得较高的精度,并且边界条件处理比较容易.但当结点取多时,所形成的矩阵是病态的,很难计算加权系数[5]. Shu和Richards引入了用高阶多项式来逼近所求函数(The polynomial-based quadraturemethod,简称PDQ法)[5, 6],克服了这一困难.

　　不可压缩流体控制方程的求解,连续性方程是作为求解Navier-Stokes方程的约束条件给出的,其中没有压力项,也没有时间项.求解Navier-Stokes方程不同于一般方程结合边界条件联立求解,必须寻求办法解决速度与压力耦合的问题,也就是连续性方程的处理方法.根据连续性方程的处理方法不同,求解的主要方法有涡量-流函数失量法、速度-涡量法、速度-速度势法、原始变量法.在这些方法中,原始变量法是较常用的方法.然而,用原始变量法求解Navier-Stokes方程有两个困难:一是没有独立的压力方程,速度和压力是耦合的,速度既出现在连续性方程中,也出现在动量方程中,而压力仅出现在动量方程中.二是边界上的连续性方程必须强制地满足.

　　Patankar和Spalding在1972年提出的SIMPLE (semi-implicitmethod for pressure-linked equations)算法[7]很好的处理了用原始变量法求解Navier-Stokes方程中的速度与压力耦合问题.通常, SIMPLE算法使用交错网格.即将求解压力p等标量的计算网格与求解各速度分量的计算网格相互错开半个网格间距,p等标量布置在主结点上(主网格),速度布置在主结点之间的界面上,这样,在离散动量方程时压力梯度是用一个网格间距上的相邻主结点上的压力的差分来表示的.其优点一是可以避免压力场发生波动而连续性又无法检测出来的问题,二是边界上的连续性方程能自动满足.交错网格虽然很有效,然而缺点也很明显,一是由于采用多套网格系统(三维情况下有四套网格系统),占用更多的计算机内存.二是要进行关于几何参数和物理参数大量的插值运算,这既耗费机时,又损害数值计算的精度.在更为严重的情况下,交错网格甚至会失效,不能克服压力场发生波动的现象[8].出于交错网格的缺点,在复杂的流动计算中,非交错网格的优势更加明显.