从N-S方程证明缓变流过水断面的压强分布规律

　　水力学教材在处理从N-S方程导出总流Bernoulli方程的过程中，需要证明均匀流和缓变流过水断面的压强分布按静水压强分布的结论。目前流行的证法是直观易懂的“微柱体法”。本文将直接从N-S方程出发，通过求解恒定均匀流的压强分布，给出另一种证法。

　　水力学中定义的恒定均匀流，用数学式子表为

　　这里，二轴指向与流动方向一致，y轴和:轴在过水断面内且y轴为水平。由于我们讨论一般情形，故不加边界条件。要求解出该流动的压强分布规律。

　　首先，流动满足连续性方程，得若牛一 =0。于是(1)式应为

　　将(2)式代人N-S方程，并简化，有

　　一般，X=gsinB,Y=O,Z=一g Los e, e为二轴与水平面的夹角。从(4)式可知动水压强只、与二和名有关。从(5)式解得

　　为求任意函数f(二)，将(6)式代入(3)式得

　　该式前两项只与二有关，最后一项只与y和名有关，所以两部分都只能为常数，令

　　由(z)式得f(二)=clx+cz, c,, c:为任意常数，可由具体边界条件定出。最后，压强分布表为

　　其中z'= z cos B，为铅直位置高度。在一定的过水断面处C(二)为常数，(9)式〔或(6)式〕表明:均匀流过水断面上动水压强分布规律与静水压强分布规律相同。对缓变流而言，us.,: u(y}z)，铆，wuY O,uz，X--tgsinB，Y~0和Z--r一g cos B，上述结论近似成立。

　　(8)式的求解需要具体边界条件，因非本文重点，不予讨论。

　　证明已经结束了，但就恒定均匀流的压强问题再作两点讨论，是有益的。

　　第一，一点处的正应力状态为pzz - 1-YYpZZ=-P。其中，几:二一夕是“微柱体法”成立的必要条件，而rzs-}yy--p，对于进一步认识Pitot管这个常规测速仪器有着重要的意义。

　　第二，(9)式同时预示了恒定均匀流动水压强沿流程按线性分布，测压管水头线是直线。对明渠恒定均匀流，由水面是测压管水头线可定出Ci=0，这时P与二无关，从理论上说明了Pitot管的动、静压孔不在同一过水断面的可行性。明显，管道中恒定均匀流，C;等0，故管中所用Pitot管的动、静压孔必须位于同一个过水断面内。

　　笔者在教学中应用上述方法进行讲授，证明是可行的。这样，从N--S方程到总流Be-rnoulli方程的理论推导严密，方法连贯。

　　本文作者：周锦宏